Equivalência do Cilindro e Espaço Euclidiano

Question

O cilindro é uma superfície lisa com curvatura Gaussiana zero e, portanto, pode ser achatado em um plano sem distorção das distâncias.

Isso significa que o espaço euclidiano $\mathbb{E}^2$ e o cilindro $S^{1} \times \mathbb{R} $são equivalentes a espaços métricos equipados com a mesma função de distância? Além disso, qual é o raio deste cilindro obtido do espaço geral$\mathbb{E}^2$?

Answer 1

A curvatura gaussiana é uma propriedade local ... ter curvatura gaussiana zero significa que vizinhanças suficientemente pequenas de cada ponto podem ser achatadas fielmente no plano. Certamente o plano euclidiano e o cilindro não são globalmente equivalentes, nem mesmo topologicamente, muito menos como espaços métricos. Por exemplo, observe que existem curvas geodésicas fechadas no cilindro, mas não no plano.

Answer 2

Eles compartilham o mesmo primeiro teorema fundamental. O plano e o cilindro são isometricamente equivalentes às regiões mapeáveis ​​correspondentes. A isometria é dobrável e preserva todos os parâmetros que são funções dos símbolos comuns de Christoffel.

A segunda forma fundamental é diferente ... e a curvatura normal das linhas muda na dobra ..