Erro de declaração do quantificador?

Question

Estou trabalhando em um conjunto de declarações True e False que lidam com quantificadores e suspeito que pode haver um erro. O conjunto universal aqui são números racionais, então quase tudo está na mesa. Verifiquei três vezes cada um com o que pude encontrar online, mas aparentemente pelo menos um deles não é a resposta correta. Aqui está o meu raciocínio para cada um:

1. Verdadeiro como y = 1 - x
2. Falso porque não existe um valor singular de forma que quando multiplicado por qualquer outro número real, seu produto é 1
3. Falso, pois viola a propriedade comunicativa de adição, que é verdadeira para todos os números reais
4. Falso, pois não há ponto em que as duas equações se encontram, o que significa que ambas as equações nunca podem ser verdadeiras ao mesmo tempo
5. Verdadeiro para todas as possibilidades racionais de $x^2$, existirá uma raiz quadrada racional.
6. Impossível porque não existe um número racional que possa ser elevado ao quadrado para formar um número negativo
7. A declaração diz que para cada dois números reais, existe um número real que é a média dos dois números reais. Isso sempre é verdade e, portanto, a afirmação é verdadeira.
8. Verdadeiro quanto a todos os valores racionais de x, existe um valor singular de y = 0 para fazer um produto de 0
9. Falso porque não há um valor racional de y que resolva a equação para todos os valores de x.
10. Falso, pois, para números racionais negativos, não há valor de y que possa ser elevado ao quadrado para criá-lo.
11. Verdadeiro, pois a raiz quadrada de 2 é um número real.
12. Verdadeiro como para todos os valores de x, existirá ay tal que xy = 1. Isso é mostrado com a propriedade inversa da multiplicação.

Qualquer sugestão ou ajuda seria muito apreciada.

Answer 1

Nr. $7$é falso. Não diz que para cada par de números reais há um número real que é a média deles; isso seria$\forall x\forall y\exists z\,\left(z=\frac{x+y}2\right)$. Diz que para cada número real$x$ há um número real $z$ de tal modo que $z=\frac{x+y}2$para cada número real$y$, o que é claramente falso: isso diz que para cada número real $x$ a função

$$f_x:\Bbb R\to\Bbb R:y\mapsto\frac{x+y}2$$

é uma função constante.