escapar do avião

Question

Em uma manhã de domingo, você acorda e se encontra completamente sozinho em um plano infinito e plano. Você não se lembra muito sobre a noite anterior, exceto que você pode ter irritado um bruxo. Ao seu lado, você encontra uma paleta com cores infinitamente contáveis, e uma nota, comandando você assim:

Você deve pintar todos os pontos deste plano, de forma que eu nunca consiga encontrar um triângulo com vértices da mesma cor e área racional.

Se você conseguir realizar esta tarefa, o assistente o deixará livre - falhe e você ficará preso para sempre. Você não duvida das habilidades do mago, então não há truques baratos aqui. Considerando o problema, você começa a trabalhar - e um tempo incontável e infinito depois, o mago fica ao seu lado, admirando sua obra.

O mago te libertou?

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EDIT: Para eliminar as respostas de pensamento lateral com base no enquadramento da questão, aqui está uma declaração matemática formal do quebra-cabeça:

Existe uma coloração de$\mathbb{R}^2$tal que é impossível encontrar um triângulo com vértices da mesma cor e área racional?

Answer 1

Supertarefa muito interessante.

Em um plano 2D, quaisquer três pontos não colineares formam um triângulo, portanto, use apenas 2 pontos de cada cor. Como você tem cores infinitas, nunca ficará sem cores. No entanto, isso não nos salva de nossa morte, pois essa tarefa levaria uma quantidade incontável de tempo, deixando-nos presos no avião. Portanto, temos que abordar isso como uma supertarefa. Pinte o primeiro ponto em 1 minuto, pinte o segundo ponto na metade do tempo, pinte o terceiro na metade do segundo, etc. Em apenas dois minutos, e quanto tempo o assistente precisar verificar, você estará livre do avião!

Editar:

A solução acima esbarra no problema de que você fica sem cores porque há um número incontável e infinito de pontos em$\mathbb{R}^2$e há um número infinitamente contável de cores. Posso chegar um pouco mais perto aumentando minhas cores numéricas. Em vez de pensar nas cores como as manchas discretas de tinta que o mago me deu, agora considerarei o comprimento de onda da luz que o pigmento reflete (desconsiderando totalmente como a mistura de tinta funciona aqui). Agora, em cada passo da supertarefa, misture as tintas de forma que você obtenha uma nova cor (por exemplo, no passo 1 você usa tinta com$700nm$, no passo 2 você usa tinta com$700.\bar01nm$, etc). Agora você tem um número incontável e infinito de cores de tinta. No entanto, sinto como se o avião estivesse cheio de infinitos pontos bidimensionais$\mathbb{R}^2$, enquanto eu só tenho tintas com$\mathbb{R}>0$, então ainda não tenho cores suficientes.

Answer 2

Com certeza isso é simples

Você tem uma infinidade de cores, então você usa cada cor apenas uma vez. Você não especificou se os 'pontos' são pontos verdadeiros. Se eles são pontos verdadeiros em um plano, eles não têm dimensão, então você não pode pintá-los. Nem mesmo 1 molécula de tinta pode ser usada.

ou

Se você conseguir realizar esta tarefa, o assistente o deixará livre - falhe e você ficará preso para sempre.

Dado que a tarefa levará uma eternidade, você ficará preso para sempre fazendo a tarefa, não, o assistente não o libertará.

ou

Você pinta linhas retas paralelas de cor única infinitamente longas. Não haverá triângulos com três vértices da mesma cor.