Espectro do operador linear limitado

Question

Estou trabalhando no seguinte problema.

Deixei $(e_n)$ ser uma sequência ortonormal completa em um espaço de Hilbert $H$, e deixar $(\lambda_n)$ser uma sequência complexa limitada. Deixei$T$ ser um operador linear limitado em $H$ de tal modo que $Te_n=\lambda_ne_n$ para cada $n$. Encontrar$\sigma(T)$, o espectro de $T$.

O que fiz até agora : sei que se$\lambda\in\sigma(T)$ então $T-\lambda I$ não é invertível.

eu penso isso $\{\lambda_n\}_n\subset\sigma(T)$, Porque $(T-\lambda_nI)e_n=Te_n-\lambda e_n=0$, que significa $e_n\in\ker(T-\lambda_n I)$, então $T-\lambda_n I$ não é injetivo (o que significa que não é invertível).

Mas eu não sei se existem outros membros do $\sigma(T)$. Qualquer ajuda seria apreciada!

Answer 1

Desde a $\sigma (T)$ está fechado, vemos que o fechamento de $\{\lambda_n : n \geq 1\}$está contido nele. E se$\lambda $ não pertence a este fechamento há uma distância positiva $r$ de $\lambda$para este conjunto. portanto$|\lambda-\lambda_n| \geq r$ para todos $n$. Eu vou deixar você verificar isso$T-\lambda I$ tem um inverso limitado neste caso, então $\lambda$não pode estar no espectro. [Observe que há uma fórmula óbvia para o inverso de$T-\lambda I$]