Essa expressão monstruosa pode ser simplificada?

Question

$\sqrt{\left( r_d \cos\left(\frac{-4(C - X) \csc⁡(2α)}{Z}\right) + r_p \left(\frac{2C \tan⁡(α) - 4 (C - X) \csc⁡(2α))}{Z}\right) \sin\left(\frac{-4 (C - X) csc⁡(2α)}{Z}\right) - m X \tan⁡(α) \sin\left(\frac{-4 (C - X) \csc⁡(2α)}{Z}\right)\right)^2 + \left( r_d \sin\left(\frac{4(C - X) \csc⁡(2α)}{Z}\right) - r_p \left(\frac{2C \tan⁡(α) - 4 (C - X) \csc⁡(2α))}{Z}\right) \cos\left(\frac{-4 (C - X) csc⁡(2α)}{Z}\right) + m X \tan⁡(α) \cos\left(\frac{-4 (C - X) \csc⁡(2α)}{Z}\right)\right)^2}$

• $r_d = r_p + m X - m C$
• $r_p = \frac {m Z}{2}$
• $m$é positivo
• $α$está entre$0$e$\frac π 4$
• $Z$é um inteiro positivo
• $X$está entre -1 e +1
• $C$está entre 1 e 1,5

Estive olhando para isso até ficar vesga, mas não consigo encontrar nenhuma maneira de decompô-lo. Não é para uma aula, então não tenho recursos para recorrer.

Contexto:

Estou tentando encontrar o raio de um ponto na curva definida pelas expressões paramétricas$$x = r_d \cos(γ) + r_p \left(\frac{2C \tan(α)} Z + γ\right) \sin(γ) - m X \tan(α) \sin(γ),$$ $$y = r_d \sin(γ) - r_p \left(\frac{2C \tan(α)} Z + γ\right) \cos(γ) + m X \tan(α) \cos(γ)$$

Especificamente, o ponto em$γ = \frac{-4(C - X) \csc⁡(2α)}{Z}$. Meu instinto para resolver isso foi inserir o valor e usar o teorema de Pitágoras, que criou a expressão que é o assunto desta questão. Se houver uma maneira melhor de encontrar esse raio, adoraria experimentá-lo.

Atualização: Procurando simplificar as expressões base, posso expandir as instâncias de$r_d$e$r_p$e então fatorar o$m$de todos os três termos, e posso fatorar o$\sin$e$\cos$dos dois últimos termos, mas não vejo como usar isso para alguma vantagem...

Answer 1

Muitas vezes é muito melhor simplificar o mais rápido possível. Neste caso, a parametrização$x$e$y$valores no valor especificado$\gamma_0 := -4(C-X)\csc(2\alpha)/Z$reduz bastante bem:

$$\begin{align} x &=\tfrac12 mZ \left(\;\cos\gamma_0 + \gamma_0 \cos\alpha \sin(\alpha+\gamma_0)\;\right) \tag1\\[4pt] y &=\tfrac12 mZ \left(\;\sin\gamma_0 - \gamma_0 \cos\alpha \cos(\alpha+\gamma_0)\;\right) \tag2 \end{align}$$

A partir daí, obtemos facilmente$$x^2+y^2 = \tfrac14m^2Z^2\left(\;1 + \gamma_0 \sin 2 \alpha + \gamma_0^2\cos^2\alpha\;\right) \tag3$$(Convenientemente, não há$\gamma$s dentro das funções trigonométricas.)

Se desejar, você pode expandir$1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$e$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, reagrupar e escrever$$x^2+y^2 = \tfrac14m^2Z^2\left(\;\left(\gamma_0\cos\alpha+\sin\alpha\right)^2+\cos^2\alpha\;\right) \tag4$$

Nesse momento, expandindo$\gamma_0$explicitamente para$-4(C-X)\csc(2\alpha)/Z$não parece dar nada particularmente bonito, então vou deixar isso para o leitor.$\square$

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Como uma prequela, apenas substituindo$r_d\to r_p+mX-mC$e$r_p\to mZ/2$nas equações paramétricas do OP dá a simplificação$$\begin{align} x &= \tfrac12 mZ \left(\; \cos\gamma + \gamma \sin\gamma +\gamma_0 \sin\alpha\cos(\alpha+\gamma) \;\right) \tag{0.1}\\[4pt] y &= \tfrac12 mZ \left(\; \sin\gamma - \gamma \cos\gamma +\gamma_0 \sin\alpha \sin(\alpha+\gamma) \;\right) \tag{0.2} \end{align}$$com$\gamma_0$como acima. A partir destes, obtemos$$x^2 + y^2 = \tfrac14 m^2Z^2 \left(\; 1 + \gamma_0 \sin2\alpha + \gamma^2\cos^2\alpha + (\gamma-\gamma_0)^2 \sin^2\alpha \;\right) \tag{0.3}$$Quando$\gamma=\gamma_0$, temos isso$(0.1)$,$(0.2)$,$(0.3)$Reduzir para$(1)$,$(2)$,$(3)$.