Esta matriz é diagonalizável e tem vários espaços próprios?

Question

Então, queremos encontrar a base para o espaço próprio de cada valor próprio λ para alguma matriz A.

Fazendo essa pergunta, percebi que a base para o espaço próprio de um certo valor próprio tem algum tipo de conexão com o vetor próprio desse valor. Agora, não tenho certeza se eles realmente são iguais, porque tenho alguns problemas quando se trata de autovalores com uma multiplicidade geométrica de dois ou mais.

Veja o seguinte exemplo:

\ begin {equation *} A = \ begin {pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \\ \ 2 & 1 & 2 \ end {pmatrix} \ end {equation *}

Esta matriz tem um polinômio característico $−λ3+6λ2−12λ+8$. A raiz disso é$λ=2$, que tem uma multiplicidade algébrica de 3. Então, estou calculando: $ E_2 : (A - 2I)(x_1,x_2,x_3)=(0, 0, 0) $ Depois de resolvê-lo, encontrei 2 vetores próprios:

$ x_1 * (1, -2, 0) + x_3 * (0, 0, 1) $

Eu encontrei esses dois vetores usando 1 pivô e 2 variáveis ​​livres.

A multiplicidade geométrica é igual ao número de variáveis ​​livres para este valor próprio. Como a multiplicidade geométrica é diferente da multiplicidade algébrica, essa matriz não é diagonalizável.

Primeira pergunta: isso é correto?

Segunda pergunta: meu professor me disse que uma matriz é diagonalizável se: $\sum_{λ}^{} dim E_λ(A) = n$com n a dimensão de uma matriz quadrada (n, n). É a mesma regra da multiplicidade geométrica?

Terceira pergunta: se uma matriz tem 2 autovalores, ela terá 2 autovalores diferentes? Tenho dificuldade em descobrir o que é?

Answer 1

Existem vários problemas com sua pergunta.

Sua primeira frase menciona “a base para o eigenspace”, mas cada eigenspace tem infinitas bases.

Então você fala sobre “o autovetor do dito autovalor”; novamente, cada autovalor tem infinitamente muitos autovetores correspondentes.

Você diz que o polinômio característico de $A$ é $-\lambda ^3+6 \lambda ^2-12 \lambda +8$ e que sua única raiz é $2$; está correto. E aqueles$2$eigenvetores são de fato eigenvetores. Eles são linearmente independentes e formam uma base do espaço próprio correspondente ao valor próprio$2$.

Agora, com relação às suas perguntas:

1. Sim, está correto.
2. Sim, já que a multiplicidade geométrica de $\lambda$ é $\dim E_\lambda$.
3. Se uma matriz tem $k$ autovalores, então tem $k$ espaços próprios distintos.