Estabelecendo infinitos primos da forma $4k+1$.
Estabeleça que há infinitos primos da forma $4k+1$.
Eu estava estudando raízes primitivas, e recentemente foi provado que os estranhos divisores primos $n^2 +1$ são todos na forma de $4k+1$.
Uma prova na Teoria dos Números Elementares de Burton assume que existem finitamente muitos primos da forma$4k+1$. O livro permite$N = (2p_1...p_n)^2 +1$ ($p_i$ são os primos da forma $4k+1$ então prossegue que este número teria um primo da forma $4k+1$ aquilo não é $p_i$ ($i$ entre $1$ e $n$) Porque $p_i$ não divide 1, portanto não divide $N$.
Eu estava me perguntando por que você usaria $N =(2p_1...p_n)^2+1$não deixa $N=(p_1...p_n)^2 +1$ conseguir exatamente a mesma coisa?
Respostas
Para cada inteiro $n$, cada divisor primo ímpar$p$ do $n^2+1$ é da forma $p=4k+1$ para algum inteiro $k$. Segue-se que para cada inteiro par$n$, cada divisor primo $p$ do $n^2+1$ é da forma $p=4k+1$ para algum inteiro $k$.
Deixei $p_1,\ldots,p_m$ser uma lista finita de primos. Então, cada divisor primo ímpar de$$N=(p_1\cdot p_2\cdots p_m)^2+1,$$ é um número primo da forma $4k+1$, e é coprime para $p_1,\ldots,p_m$. Isso mostra que se $N$tem um divisor primo ímpar, então a lista finita$p_1,\ldots,p_m$está incompleto. Resta mostrar que$N$ tem um divisor primo ímpar, ou seja, que $N$ não é um poder de $2$.
Por outro lado, cada divisor primo de$$M=(2p_1\cdot p_2\cdots p_m)^2+1,$$ é um número primo da forma $4k+1$, e é coprime para $p_1,\ldots,p_m$. Isso mostra que a lista finita$p_1,\ldots,p_m$está incompleto. Nenhum outro argumento é necessário.