Exemplo para indução matemática
Atualmente estou em indução matemática e enfrentei um problema que simplesmente não sei por onde começar e não consigo encontrar nenhum exemplo que possa seguir, então, apenas para esclarecer, estou pedindo a você, por exemplo, uma solução de tarefa semelhante.
A tarefa que devo resolver é: $$1053|3^{2n+2}*5^{2n}-3^{3n+2}*2^{2n}$$
Se você possivelmente me der uma solução para isso: $$3|(n^{3}-n)$$ pois acredito que este é mais fácil de resolver
PS: Não quero que você resolva meu problema, porque quero tentar resolvê-lo sozinho, só quero um exemplo para ver como você pode resolver esse tipo de tarefa. Obrigado!
Respostas
O seguinte problema é mais semelhante ao seu $1053$ problema: mostre isso $5 \mid (3^{2n}-2^{2n})$.
O caso básico é trivial.
Para a etapa indutiva, assumimos que $5 \mid (3^{2k}-2^{2k})$ e tente provar isso $5 \mid (3^{2(k+1)}-2^{2(k+1)})$.
Nós escrevemos $3^{2k}-2^{2k}=5K$, então nós temos $3^{2k} = 5K+2^{2k}$. Agora:
$$\begin{align}3^{2(k+1)}-2^{2(k+1)}&=9(5K+2^{2k})- 2^{2(k+1)}\\&=45K+9\cdot2^{2k}-4\cdot2^{2k}\\&=5(9K+2^{2k})\end{align}$$
que mostra nosso resultado desejado.
Este é um método padrão para provas de indução matemática do tipo "divisibilidade de potências".
Usa isto: $$n^3-n=(n-1)n(n+1)$$ ou (se você quiser uma prova por indução): $$(n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-n-1=n^3-n+(3n^2+3n).$$
Dica: para a etapa indutiva, use $(n+1)^3 - (n+1) = n^3 + 3 n ^2 + 3 n + 1 - n - 1 = (n^3 - n) + 3 (n^2 + n) $. O que você pode dizer para cada um desses dois termos?