Fechamento deste conjunto sob adição

Question

Definir $S = \{ (x_n)_n \in \mathbb{R}^\mathbb{N} \mid \sum\limits_{n=1}^{∞} {x_n}^2 < ∞ \}.$

Como posso mostrar que este conjunto é fechado sob adição pontual?

Deixei $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ ser duas sequências com suas séries associadas convergindo para $L_1 := \sum {x_n}^2$ e $L_2 := \sum {y_n}^2$. Como posso mostrar que a série associada a$(x_n + y_n)_n$ converge também?

Até agora, eu posso raciocinar $\sum_n (x_n + y_n)^2 = L_1 + L_2 + 2\sum x_n y_n$, mas como faço a partir daqui?

Answer 1

Dica

$$\sum_{n}|x_n||y_n|\leq \sqrt{\sum_{n}x_n^2}\sqrt{\sum_{n}y_n^2}.$$

Answer 2

Dado o que você fez, o que falta provar é que $\sum {x_n y_n}$é convergente. Para fazer isso, você precisa de alguma forma de desigualdade de Cauchy Swartz e declarar o seguinte:$$|x_n y_n|=\sqrt{x_n^2 \cdot y_n^2}\leq \frac{x_n^2 + y_n^2}{2}$$ Essa desigualdade às vezes é chamada de AM-GM e, podemos deduzir a partir dela que a soma $\sum {|x_n y_n|}$é convergente. Assim, o dum em questão é absolutamente convergente.

Answer 3

A melhor maneira seria usar o fato de que $(a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2})$ então $\sum (x_n+y_n)^{2} \leq 2\sum x_n^{2}+2\sum y_n^{2} <\infty$. Isso evita a desigualdade CS.