Feixe normal e pequena contração em três vezes

Question

Deixar $f:X \to \mathbb{A}^1$ ser um morfismo projetivo suave de dimensão relativa $2$. Suponha que a fibra$X_0:=f^{-1}(0)$ contém uma curva racional irredutível, digamos $C$ de modo que a restrição do pacote canônico $K_{X_0}$ de $X_0$ para $C$é trivial. Suponha que exista um morfismo birracional adequado$g:X \to Y$ contratação $C$ ou seja, $g$ induz um isomorfismo (em sua imagem) quando restrito ao complemento $X \backslash C$ e $C$ mapeia para um ponto em $Y$ (pode-se supor que a imagem de $C$ é um ponto duplo comum em $Y$) Como$C$ é racional, sabemos que $N_{C|X}$ é da forma $\mathcal{O}_C(a) \oplus \mathcal{O}_C(b)$. O que podemos dizer sobre$a$ e $b$? Existe alguma técnica padrão para calcular$a$ e $b$? Terei muito interesse em conhecer referências / literaturas que estudam questões semelhantes (em suma feixes normais de curvas racionais contráteis em três partes).

Answer 1

A seqüência exata $$ 0 \to N_{C/X_0} \to N_{C/X} \to N_{X_0/X}\vert_C \to 0 $$ neste caso, é lido como $$ 0 \to \mathcal{O}_C(-2) \to N_{C/X} \to \mathcal{O}_C \to 0 $$ o que significa que também $(a,b) = (0,-2)$ (se a classe de extensão for trivial) ou $(a,b) = (-1,-1)$ (se a classe de extensão não for trivial).