Funcionais lineares descontroladamente descontínuos

Question

Deixei $X$ seja um espaço de Banach, $H\subseteq X$ ser um hiperplano denso, e $f$ser um funcional linear contínuo definido em$H$. Então$f$ é uniformemente contínuo e, portanto, admite uma extensão contínua única para $X$.

No entanto, vamos escolher um funcional linear descontínuo$g$ estendendo $f$ para o todo $X$.

Não se pode dizer isso $g$ é muito ruim, pois, afinal, sua restrição a um grande subespaço, a saber $H$, é contínuo.

Todo espaço de Banach admite um funcional linear que é zero ou descontínuo quando restrito a todo subespaço de dimensão infinita?

O kernel de tal funcional terá então uma interseção densa com cada subespaço dimensional infinito.

Answer 1

Nenhum funcional linear diferente de zero tem a propriedade que você pediu. Suponha$F$é um funcional linear diferente de zero. Escolher$x$ st $F(x)=1$. Deixei$G$ ser um st funcional linear contínuo $G(x)=1$. Deixei$Y$ ser a intersecção dos grãos de $F$ e $G$, de modo que $Y$ tem codimensão $2$. Então$F$ é contínuo no intervalo linear de $Y$ e $x$ Desde a $F$ concorda com $G$ neste subespaço codimensão um.