Funcionais Lineares $\varphi[h]=\lambda\psi[h]$, Variações

Question

Em Cálculo de Variações, G&F , o problema é: Dados dois funcionais lineares$\varphi,\psi$ sobre um espaço linear $R$ de tal modo que $\varphi[h]=0\iff\psi[h]=0$. Mostre que existe uma constante$\lambda$ de tal modo que $$\varphi[h]=\lambda\psi[h]\tag{1}\label{eq1}$$

Deixei $S\subset R$ o conjunto onde $\varphi,\psi$são ambos zero. O que eu tenho até agora é: vamos$\bar{h}:=\{k\in R:h-k\in S\}$ então existe $\lambda_h$ de tal modo que $\varphi[k]=\lambda_h\psi[k]$ para cada $k\in\bar{h}$, particionando assim $R$em conjuntos separados onde \ eqref {eq1} é mantido localmente. Isso é o que eu tenho. Acho que estou muito perto de concluir a solução, mas não consigo ver de imediato. obrigado

Answer 1

O núcleo de um funcional linear diferente de zero sempre tem codimensão$1$, por causa do primeiro teorema do isomorfismo.
Isso significa que se$x\in R\setminus S$ é qualquer elemento, junto com $S$ já abrange todo o espaço, de modo que $R={\rm span}(x)\oplus S$.
Consertar tal$x$.

Claro, pegue $\lambda:=\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}$, como você fez 'localmente em $x$'.

Para qualquer escalar $\alpha$ e $s\in S$ temos $$\lambda\psi(\alpha x+s)=\lambda\alpha\psi(x)=\alpha\varphi(x)=\varphi(\alpha x+s)\,.$$