Functor que não preserva monic e épico

Question

No livro BAII de Jacobson, ele deu dois exercícios para mostrar que existe um functor que não preserva monic ou épico.

Ex-1. Sejam M e N monoides como categorias com um único objeto. Mostre que, nesta identificação, um functor é um homomorfismo de M em N.

Ex-2. Use Ex-1 para construir um functor $F$ e um monic (épico) $f$ de tal modo que $F(f)$ não é monic (épico)

Resolvi Ex-1. No entanto, não sei como construir um exemplo concreto para resolver Ex-2.

Espero que alguém possa me dar algumas dicas. Muito obrigado!

Answer 1

Dica: vamos$M$ ser um monóide livre.

Um exemplo simples é com $M=(\Bbb N,+),\ \,N=(\{0,1\},\max)$ e $F(m)=\min(1,m)$.
$1$ é cancelável em $M$ mas não em $N$.