Gcd de função linear

Question

$\DeclareMathOperator\gcd{gcd}$Levar $q\in \mathbb N$ e $X>0$ ($q$ não necessariamente menor que $X$) Uma soma como$$\sum_{d\leq X}(q,d)$$ é facilmente visto como $\ll q^\epsilon (X+q)$ de modo que o mdc não torna a soma muito maior do que seria sem ele - os valores para os quais $(q,d)$ são significativos são raros.

Se eu tiver, em vez disso, uma soma como $$\sum_{dd'\leq X}(q,d+d')$$ ainda posso concluir um limite semelhante, pensando que o $d+d'$ deve fornecer apenas "valores aleatórios" para $(q,d+d')$ como fez $d$ para $(q,d)$? Ou essa é a maneira completamente errada de pensar sobre isso?

É claro que é semelhante a perguntar sobre $$\sum_{\substack{dd'\leq X\\q\mid d+d'}}1$$ o que parece fácil, mas ainda estou um pouco inseguro ... isso é mesmo $\ll (qX)^\epsilon (X/q+1)$?

Answer 1

1. Nós temos$$\sum_{\substack{dd'\leq X\\q\mid d+d'\\d\leq d'}}1 =\sum_{d\leq\sqrt{X}}\sum_{\substack{d'\leq X/d\\q\mid d+d'\\d\leq d'}}1 \leq\sum_{d\leq\sqrt{X}}\sum_{\substack{c\leq 2X/d\\q\mid c}}1 \leq\sum_{d\leq\sqrt{X}}\frac{2X}{qd}<\frac{2X(1+\log\sqrt{X})}{q}.$$ Obtemos o mesmo limite quando as funções de $d$ e $d'$ são trocados, portanto, no final $$\sum_{\substack{dd'\leq X\\q\mid d+d'}}1<\frac{2X(2+\log X)}{q}\ll_\epsilon\frac{X^{1+\epsilon}}{q}.$$

2. A partir da última desigualdade, inferimos$$\sum_{dd'\leq X}(q,d+d')\leq \sum_{r\mid q}r\sum_{\substack{dd'\leq X\\r\mid d+d'}}1 \ll_\epsilon\sum_{r\mid q}r\frac{X^{1+\epsilon}}{r}\ll_\epsilon (qX)^\epsilon X.$$