Generalização de funções simétricas

Question

UMA $n$-função variável $f$ é uma função simétrica se $$f(x_1,x_2, \ldots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(n)})$$ para cada permutação $\sigma \in S_n$. Em particular, se$f$ é um polinômio, então $f$é um polinômio simétrico. Esses objetos foram estudados extensivamente.

Eu me pergunto se a seguinte generalização foi estudada. UMA$n^2$-função variável $f$ é um $S_n$-função simétrica se $$f(x_{11}, x_{12}, \ldots, x_{1n}, \ldots, x_{nn}) = f(x_{\sigma(1)\sigma(1)}, x_{\sigma(1)\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(1)\sigma(n)}, \ldots, x_{\sigma(n)\sigma(n)})$$ para cada permutação $\sigma \in S_n$.

Acho que esses objetos devem ter sido estudados, pois são tão naturais. Mas não sei as palavras-chave e não consegui encontrar a literatura.

Fico muito grato se alguém puder fornecer informações sobre eles. Desde já, obrigado.

Answer 1

Deixei $w\in S_n$ (o grupo simétrico) tem tipo de ciclo $\lambda =(\lambda_1,\dots, \lambda_\ell)\vdash n$, Onde $\ell=\ell(\lambda)$ é o comprimento (número de partes diferentes de zero) de $\lambda$. Então, a ação induzida de$w$ em $[n]\times [n]$ (Onde $[n]=\{1,2,\dots,n\}$) tem enumerador de ciclo $$ \prod_{i=1}^{\ell(\lambda)} \prod_{j=1}^{\ell(\lambda)} z_{\mathrm{lcm}(\lambda_i,\lambda_j)}^{\mathrm{gcd}(\lambda_i,\lambda_j)}. $$ Deixei $f_n(d)$ ser a dimensão do espaço de polinômios complexos nas variáveis $x_{ij}$, $1\leq i,j\leq n$, que são homogêneos de grau $d$ e $G$-invariante. Então, pelo teorema de Molien,$$ F_n(x):=\sum_{d\geq 0} f_n(d)x^d $$ $$ \ \ = \frac{1}{n!}\sum_{\lambda\vdash n} \frac{n!}{z_\lambda}\prod_{i=1}^{\ell(\lambda)} \prod_{j=1}^{\ell(\lambda)} \frac{1}{\left(1-x^{\mathrm{lcm}(\lambda_i,\lambda_j)}\right)^ {\mathrm{gcd}(\lambda_i,\lambda_j)}}. $$ Estou usando a notação de função simétrica padrão, então $n!/z_\lambda$ é o número de permutações em $S_n$ do tipo de ciclo $\lambda$. Por exemplo,$$ F_1(x) = \frac{1}{1-x} $$ $$ F_2(x) = \frac{1+x^2}{(1-x)^4(1+x)^2} $$ $$ F_3(x) = \frac{1+3x^2+10x^3+16x^4+12x^5+16x^6+10x^7+3x^8+x^{10}} {(1-x)^9(1+x)^4(1+x+x^2)^3}. $$ Termo aditivo. A teoria invariante de grupos finitos, como pode ser encontrada aqui , pode ser usada para obter mais informações sobre o anel$R$de polinômios invariantes. Por exemplo, se$S$ é o subanel de todas as funções simétricas no $x_{ij}$então $R$ é um material gratuito finitamente gerado $S$-módulo de classificação $n^2!/n!$.