Geradores de $S_4$

Question

O grupo $S_4$ é gerado por $\{(12), (1234)\}$. Agora, algo que eu quero saber é como vou gerar por um ciclo de ordem $4$ e qualquer ciclo de ordem $3$ e ordem $2$.

Minha principal dúvida é encontrar o número de homomorfismos, e se $\varphi(1234) \to -1$ e $\varphi (12) \to -1$.

Então, como vou concluir a partir daqui que qualquer permutação estranha irá para $-1$ e qualquer mesmo irá para $1$. (Tem que ser mostrado por cálculos grosseiros e não usando teoremas de homomorfismo).

Eu realmente preciso de ajuda.

Answer 1

Qualquer permutação estranha $π$ deve ser expressado como uma palavra em $(12)$ e $(1234)$ de comprimento estranho $n$, uma vez que ambos são estranhos. portanto$\varphi(π)=(-1)^n=-1$, Desde a $\varphi$ é um homomorfismo.

Answer 2

Usando uma teoria de representação (ver https://math.stackexchange.com/q/3842441/432081) Eu tenho trabalhado, desenvolvi um programa python de processamento de string para multiplicar permutações. Passo a passo, aumentei o tamanho do subconjunto do nosso grupo de trabalho; existe uma e apenas uma representação padrão.

$\tau = (12)$

$\sigma = (1234) = (12)\,(23) \,(34)$

$\sigma^2 = (13)\,(24)$

$\sigma^3 = (14)\,(24)\,(34)$

$\tau\sigma = (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2 = (13) \, (24) \, (34)$

$\tau\sigma^3 = (14)\,(34)$

$\sigma\tau = (13) \,(34)$

$\sigma^2\tau = (14) \, (23) \, (34)$

$\sigma^3\tau = (24)\,(34)$

$\tau\sigma\tau = (13) \, (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2\tau = (14) \, (23)$

$\tau\sigma^3\tau = (12) \, (24) \,(34)$

$\sigma^2\tau\sigma^2 = (34)$

A partir daqui você pode 'descascar' o restante $5$ transposições e explicar o porquê, para qualquer transposição $\omega$,

$\quad \varphi(\omega) = -1$