Gerando Intuição de Função
Estou tentando entender o uso de funções geradoras. Eu entendi que podemos comprimir uma sequência em uma função geradora, de modo que cada coeficiente do polinômio que ela gera são os elementos da sequência. Mas eu não entendo o que as entradas mudam?
Digamos que temos a função geradora: $$G(x)=\sum^\infty_{k=0} p_k x^k$$
O que acontece quando damos valores diferentes para $x$, o que está mudando intuitivamente? Eu pensei que o$x^k$ termo estava lá para codificar a localização do coeficiente na sequência, uma vez que não podemos adicionar $p_ax^a$ e $p_bx^b$ E se $ a \neq b$, de modo que os termos permaneçam heterogêneos. Mas eu vi que para uma distribuição de probabilidade a propriedade$G(1)=1$deve esperar. Este é o único caso em que atribuir um valor a x é útil?
Muito obrigado antecipadamente pelas explicações.
Respostas
E se $X$ é uma variável aleatória discreta assumindo valores nos inteiros não negativos $\{0,1, \dots\}$, então a função geradora de probabilidade de $X$ é definido como:
$$\color{blue}{\displaystyle G(z)=\mathbb{E} \left(z^{X}\right)=\sum_{x=0}^{\infty }p(x)\;z^{x}}$$
Onde $p$ é a função de massa de probabilidade de $X$. A escolha de$z$ ao invés de $x$está simplesmente relacionado à ideia de que o que estamos fazendo é uma transformação z .
Observe a seguir que $z$ está agindo como um varal para pendurar os valores de interesse, que são recuperados após a diferenciação e avaliação em $0$ para recuperar o PMF, ou em $1$para os momentos, respectivamente. Essa magia acontece graças ao fato de que$z$ qualquer um se torna $0$ em toda a cauda dos termos (PMF), ou $1.$ Mas, em qualquer caso, não está relacionado à variável aleatória e não contribui com nenhuma informação - é o equivalente a uma variável dummy.
CARACTERÍSTICAS:
- ISSO LHE DÁ PROBABILIDADES, diferenciando:
$$\color{blue}{\large p_i = \left. \frac{1}{i!}\quad\frac{d^i \, G(z)}{dx^i} \right|_{z=0}=\frac{1}{i!} \;G^{(i)}\;(0)}$$
$G\,(1)=1$ Porque $$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty p_i \; 1^i=1$$
Primeiro diferencial
$$G^{(1)}(z) =\frac{d}{dz}\mathbb E\left[z^X\right]=\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]$$
O primeiro diferencial avaliado em $1$ dá a você o meio: $$G^{(1)}(1) =\left.\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]\right|_{z=1}=\mathbb E\left[X\quad1^{X-1}\right]= \mathbb E[X].$$
A segunda derivada avaliada em $1$ é o momento fatorial e NÃO é a variância, porque o segundo termo não é elevado ao quadrado.
$$\begin{align}G^{(2)}\;(1) &=\frac{d^2}{dz^2}\; \left.\mathbb E\left[z^X\right]\right|_{z=1}\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\;z^{X-2}\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left [X^2-X\right ]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X^2\right] - \mathbb E\left[X\right]\end{align}$$
- Generalizando, então, o $i$-ésima derivada avaliada em $1$ é o $i$-º momento fatorial:
$$G^{(i)}\;(1)= \mathbb E\left[X\;(X-1)\;\cdots\;(X-i+1)\right]$$
- Para obter a variação,
$$\begin{align}\sigma^2 &= \mathbb E\left[X^2\right]-\mathbb E\left[X\right]^2 \\[2ex] &=G^{(2)}\;(1)+G^{(1)}\;(1)-\left[G^{(1)}\;(1)\right]^2 \end{align}$$
- Podemos obter momentos brutos diferenciando o pgf e multiplicando-o por $z$:
$$\mathbb E\left[X^i\right]= \left. \left( z\;\left(\frac{d}{dz}\right)^i \; G(z)\right)\right|_{z=1}$$