(Hiper) volume do demi (hiper) cubo

Question

O semi - hipercubo é formado tomando o casco convexo do conjunto de pontos em$\{0, 1\}^n$ com um número par de $1$s. Pode ser considerado como pegar um hipercubo e cortar "todos os outros" vértices.

Exemplos

Por exemplo, o $3$-demihipercubo (que também é um tetraedro regular) pode ser descrito com vértices $(0,0,0)$, $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, e $(1,1,0)$.

o $4$-demicube é o $16$-cell .

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Questão

Qual é o hipervolume do semi-hipercubo sob esta construção?

(Não consegui encontrar essas informações na Wikipedia ou em outro lugar, e estou curioso sobre isso em parte porque está relacionado à minha pergunta "https://math.stackexchange.com/q/3813522/121988".)

Answer 1

Esta pode ser uma abordagem ingênua.

O semicubo é o cubo, mas, como você disse, com $2^n/2=2^{n-1}$de seus vértices "cortados". Quanto cortamos a cada vez? Cortamos um simplex estendido pelos vetores de base padrão$e_1,...,e_n$, o volume do qual é $1/n!$.

Portanto, o semicubo (construído a partir do cubo de comprimento de aresta 1) deve ter volume

$$V_n = 1-\frac{2^{n-1}}{n!}.$$

Não foi bem o que você obteve em sua resposta. Mas talvez a diferença seja apenas sobre a escala do cubo inicial.

Answer 2

Como Jean Marie comentou , a fórmula aparece no final da página 26 do artigo "O produto de volume de corpos convexos com muitas simetrias hiperplanas" de Franck Barthe e Matthieu Fradelizi:

O semi-hipercubo é obtido a partir do cubo, cortando $2^{n-1}$ simplicidades cujos vértices são um vértice $x \in \{-1; 1\}^n$ do cubo tal que $\prod x_i = -1$ e os seus $n$vizinhos. Eles têm um ângulo reto em$x$ e o comprimento das arestas através deste vértice são $2$ portanto $$ |DH_n| = 2^n - 2^{n-1} \times \frac{2^n}{n!} = 2^n\left(1 - \frac{2^{n-1}}{n!}\right). $$

Nota, os autores definem o demihipercubo no casco convexo de pontos com coordenadas de $\{-1, 1\}$, para obter o volume da construção em questão, divida por um fator de $2^n$, produzindo $$ 1 - \frac{2^{n-1}}{n!}. $$

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Edit: a citação original que tirei do jornal deu o volume do produto , não o volume que eu havia solicitado na pergunta. Esta resposta foi corrigida para refletir isso.