$I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$ para cada teoria $T$, cada cardeal $\lambda$.

Question

Deixei $T$ ser uma teoria completa de primeira ordem.

Assumindo $\lambda \geq |L(T)| + \aleph_0$, é óbvio que $I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$? A pergunta foi estimulada olhando a conjectura de Vaught na wikipedia. Não tenho muito conhecimento de teoria de modelos, então pode ser óbvio e estou apenas sendo burro ou pode estar usando uma tecnologia que ainda não abordei. Ou isso só é verdade quando$\lambda = \aleph_0$ ?

A única coisa que consigo pensar é em contar o número de modelos não isomórficos com base nos tipos que eles satisfazem, mas não acho que isso funcione bem.

Answer 1

No cenário que você está descrevendo, há no máximo $2^\lambda$ $L$-estruturas e, portanto, certamente não mais do que $2^\lambda$ classes de isomorfismo de modelos de $T$.

Consertar um $\lambda \geq |L|+\aleph_0$, e deixar $M$ ser um conjunto de cardinalidade $\lambda$.

Para cada $n$símbolo de função -ary $f$ devemos interpretar $f$ Como uma função $f : M^n \to M$. Existem exatamente$\lambda^{(\lambda^n)} = 2^\lambda$muitas dessas funções para escolher. Da mesma forma, para cada$n$símbolo de relação -ary que temos $2^\lambda$ opções para escolher, e para cada símbolo constante, temos apenas $\lambda$ opções para escolher.

Assim, para cada símbolo na linguagem, temos no máximo $2^\lambda$escolhas. Uma vez que existem no máximo$\lambda$ símbolos na língua, o número total de escolhas que temos que fazer é no máximo $(2^\lambda)^\lambda = 2^{\lambda \times \lambda} = 2^\lambda$.