Ideais de esquerda mínima de $M_n(\mathbb{C})$

Question

Deixei $M_n(\mathbb{C})$ seja o anel de $n\times n$matrizes com entradas complexas. Deixei$I$ ser um ideal de esquerda mínimo de $M_n(\mathbb{C})$. Como posso provar que existe um$i\in\{1,\ldots,n\}$ de tal modo que $I$ é o conjunto de matrizes que têm zero colunas, exceto possivelmente o $i$o primeiro?

Tentei usar isso , mas não fui tão longe. Qualquer ajuda?

Estou tentando entender a seguinte prova de Fulton-Harris, onde eles parecem estar usando esse fato.

Answer 1

Você não pode porque esta proposição é falsa.

Por exemplo, $\left\{\begin{bmatrix}a& a\\ b&b\end{bmatrix}\middle|\,a,b\in\mathbb C\right\}$ é um ideal de esquerda mínimo e não tem a forma que você descreve.

Precisa de ajuda para ver por que é mínimo? Bem, eu concordo que

$$ L=\left\{\begin{bmatrix}a& 0\\ b&0\end{bmatrix}\middle|\,a,b\in\mathbb C\right\} $$ também é um ideal de esquerda mínimo, e o ideal que estou propondo é $Lu$ Onde $u$ é a unidade $\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$, então os dois são isomórficos como $M_2(\mathbb C)$ módulos.