$\int_{\Bbb{T}} e_n(\lambda) |\varphi(\lambda)|^2 = 0$ para todos $n \neq 0$ implica $|\varphi|^2$ é constante quase com certeza

Question

Considere o grupo de círculo $\Bbb{T}\subseteq \Bbb{C}$ com sua medida Haar $d \lambda$. Eu tenho a seguinte situação:$\varphi \in L^2(\Bbb{T})$ tem norma $1$, ie $$\Vert \varphi\Vert_2^2 = \int_\Bbb{T} |\varphi|^2 d \lambda=1$$ Colocar $e_n(\lambda) = \lambda^n, n \in \Bbb{Z}$. Temos a seguinte situação$$n \neq 0 \implies \int_\Bbb{T} e_n |\varphi|^2 d \lambda = 0$$

Posso deduzir isso $|\varphi|^2$ é constante quase com certeza?

Tentativa: tentei mostrar que $|\varphi|^2 \in L^2(\Bbb{T})$, de modo a $$|\varphi|^ 2 = \sum_{n \in \Bbb{Z}}\langle |\varphi|^2, e_n\rangle e_n= \langle |\varphi|^2, e_0\rangle e_0$$pelo teorema de Plancherel. No entanto, não consigo mostrar que$|\varphi|^2 \in L^2(\Bbb{T})$

Answer 1

Você tem $g := |\varphi|^2 \in L^1(\mathbb{T})$ e $$\widehat{g}(n) = \int_{\mathbb{T}} g(x) \cdot \overline{x}^n \, dx = \int_{\mathbb{T}} e_{-n}(x) \cdot |\varphi(x)|^2 \, dx = 0$$ para qualquer $n \in \mathbb{Z}$ com $n \neq 0$. além disso$$\widehat{g}(0) = \int_{\mathbb{T}} |\varphi(x)|^2 \, dx = 1.$$ Agora verifique se a função constante $1 \in L^1(\mathbb{T})$ também satisfaz $\widehat{1}(n) = 0$ para $n \in \mathbb{Z}$ com $n \neq 0$ e $\widehat{1}(0) = 1$. Então$\widehat{g-1} = 0$ e portanto $g = 1$quase em todos os lugares pela explicação em sua última pergunta .