Integração usando uma função gama

Question

Eu quero encontrar a seguinte integral.

$$ \frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} \int^{\infty}_{5} (x-5)^{a-1} e^{tx} e^{- \frac{x-5}{\beta}} dx$$

Com base em algumas pesquisas que fiz, acredito que poderia ser uma boa ideia usar a função gama, mas não tenho certeza de como usá-la exatamente para resolver a integral neste caso. Como eu faria isso?

Answer 1

$$I=\int_5^\infty(x-5)^{\alpha-1}e^{tx}e^{-(x-5)/\beta}dx$$ $u=x-5$, $du=dx$ $$I=e^{5t}\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{tu}e^{-u/\beta}du=e^{5t}\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-(\beta^{-1}-t)u}du=e^{5t}\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-\gamma u}du$$ para facilitar eu vou conseguir $\gamma=\beta^{-1}-t$ então teremos que fazer a substituição $v=\gamma u$ $dv=\gamma du$ e entao: $$I=e^{5t}\gamma^{2-\alpha}\int_0^\infty v^{\alpha-1}e^{-v}dv=e^{5t}\gamma^{2-\alpha}\Gamma(\alpha)=e^{5t}\left(\frac1\beta-t\right)^{2-\alpha}\Gamma(\alpha)$$ agora você deve ser capaz de fazer o resto facilmente