Integral de uma função vezes uma transformada de Fourier é zero

Question

Isso vem da Teoria Quântica de Hall para Matemáticos , Lema 9.33. Estou tendo problemas com um dos argumentos da prova. Eu acredito que tudo se resume ao seguinte:

Deixei $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ de tal modo que $\int f(x) \hat g(x) \,\mathrm{d}x = 0$ para tudo suave $g$ com suporte compacto, onde $\hat g$ denota a transformada de Fourier de $g$. Eu então quero mostrar que$f = 0$. Na prova$f$ é a diferença de um $L^2$-função e um $L^2$-função vezes uma função de coordenada.

Hall cita o teorema de Stone-Weierstrass e o teorema sobre densidade de funções contínuas com suporte compacto em $L^p$, mas ele não é muito claro. (Ele também começa a falar sobre as funções como se estivessem definidas em$\mathbb{R}$, então eu não sei o que está acontecendo.)

Além disso, sinta-se à vontade para mudar o título para algo mais descritivo, eu não tinha certeza de como intitular minha pergunta.

Answer 1

Desde a $g\mapsto \hat g:L^2(\mathbb R^n)\to L^2(\mathbb R^n)$ é um isomorfismo isométrico, podemos escolher uma identidade aproximada $(\hat \phi_n).$ Agora $\phi_n$ é suave para cada inteiro $n$ e há funções suaves com suporte compacto $(\psi_{jn})$ de tal modo que $\|\psi_{jn}-\phi_n\|\to 0$ e entao $\|\widehat{\psi_{jn}-\phi_n}\|=\|\hat\psi_{jn}-\hat\phi_n\|\to 0$também. Então,

$\tag1 \|\hat\psi_{jn}*f-f\|\le \|\hat \psi_{jn}*f-\hat \phi_n*f\|+\|\hat \phi_n*f-f\|.$

Temos, por Cauchy-Schwarz,

$\|\hat \psi_{jn}*f-\hat \phi_n*f\|\le \|\hat \psi_{jn}-\hat \phi_n\|\cdot \|f\|$ e entao $\|\hat \psi_{jn}*f-\hat \phi_n*f\|<\epsilon$ E se $j$é grande o suficiente. Por outro lado,$\|\hat \phi_n*f-f\|<\epsilon$ E se $n$ é grande o suficiente, porque $(\hat\phi_n)$ é uma identidade aproximada.

Mas $\hat \psi_{jn}*f(x)=\int \hat \psi_{jn}(x-y)f(y)dy=0$ por hipótese e assim $(1)$ torna-se

$\tag2 \|f\|\le \|\hat \psi_{jn}*f-\hat \phi_n*f\|+\|\hat \phi_n*f-f\|<2\epsilon.$

Segue que $f=0$ quase em todos os lugares.