integral definida, função hipergeométrica regularizada
No momento, estou preso à seguinte equação: $\frac{\sqrt{m} \sec \left( (m+1)\pi \right)}{4\Gamma(m)} \int\limits_{0}^{\infty} \sqrt{z}\: {}_1\mathcal{M}_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}-m,\frac{-mz}{4} \right) dz=1$ $\forall$ $m \in \mathbb{Z}^+$, Onde ${}_1\mathcal{M}_1(a,b,z)=\frac{1}{\Gamma(b-a)\Gamma(a)}\int\limits_0^1e^{z\alpha}\alpha^{a-1}(1-\alpha)^{b-a-1}d\alpha$ é a função hipergeométrica confluente regularizada.
Visto que avaliei a integral usando o Mathematica, atualmente estou interessado em como o Mathematica obteve esta solução.
O que consegui obter após algumas manipulações e exploração de propriedades da função Gama é o seguinte: $\frac{\sqrt{m} \sec \left( (m+1)\pi \right)}{4\Gamma(m)} \int\limits_{0}^{\infty} \sqrt{z}\: {}_1\mathcal{M}_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}-m,\frac{-mz}{4} \right) dz=\frac{2\Gamma(m-\frac{1}{2})}{m\pi\Gamma(m)}\int\limits_{0}^{\infty}t^{\frac{1}{2}}{}_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}-m,-t \right) dt$, onde aplicamos a transformação $\frac{mz}{4}\rightarrow t$ e ${}_1F_1(a,b,z)={}_1\mathcal{M}_1(a,b,z)\Gamma(b)$ é a função hipergeométrica confluente padrão.
Existe um integral padrão no livro "Tabela de Integrais, Séries e Produtos" de IS Gradshteyn e IM Ryzhik, que é o seguinte: $\int\limits_{0}^{\infty}t^{b-1}{}_1F_1(a,c,-t)dt=\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-b)}$[7.612.1]. Mas o problema é que esse resultado só se mantém quando$b<a$, o que não é o caso do meu problema. Este é exatamente o ponto onde estou preso e não consigo chegar à solução que é fornecida pelo Mathematica.
Qualquer sugestão será útil.
Respostas
Para avaliar \ begin {equation} I = \ frac {2 \ Gamma (m- \ frac {1} {2})} {m \ pi \ Gamma (m)} \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} t ^ {\ frac {1} {2}} {} _ 1F_1 \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {3} {2} -m, -t \ right) \, dt \ end {equação } substituímos a função hipergeométrica por sua representação em termos de polinômios de Laguerre (veja aqui ) \ begin {equation} {} _1F_1 (a, a - n, z) = \ frac {(- 1) ^ nn!} {(1 -a) _n} e ^ zL_n ^ {an-1} (- z) \ end {equation} com$a=1/2,n=m-1,z=-t$, para expressar, após várias simplificações, \ begin {equation} I = \ frac {2 (-1) ^ {m-1}} {m \ sqrt {\ pi}} \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty } t ^ {1/2} e ^ {- t} L_ {m-1} ^ {1/2-m} (t) \, dt \ end {equation} Da expressão do tipo Rodrigues \ begin {equation} L_n ^ \ lambda (z) = \ frac {e ^ zz ^ {- \ lambda}} {n!} \ Frac {\ parcial ^ n} {\ parcial z ^ n} \ left (z ^ {n + \ lambda} e ^ {- z} \ right) \ end {equation} com$n=m-1,\lambda=1/2-m$, \ begin {equation} L_ {m-1} ^ {1/2-m} (z) = \ frac {e ^ zz ^ {m-1/2}} {(m-1)!} \ frac { \ partial ^ {m-1}} {\ partial z ^ {m-1}} \ left (z ^ {- 1/2} e ^ {- z} \ right) \ end {equation} Assim, \ begin {equation } I = \ frac {2 (-1) ^ {m-1}} {m! \ Sqrt {\ pi}} \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} t ^ {m} \ frac {\ parcial ^ {m-1}} {\ partial t ^ {m-1}} \ left (t ^ {- 1/2} e ^ {- t} \ right) \, dt \ end {equation} Executando integrações por partes$m-2$vezes, \ begin {equation} \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} t ^ {m} \ frac {\ partial ^ {m-1}} {\ partial t ^ {m-1}} \ left ( t ^ {- 1/2} e ^ {- t} \ right) \, dt = (- 1) ^ {m-1} m! \ int_0 ^ \ infty t ^ {1/2} e ^ {- t } \, dt \ end {equation} Finalmente \ begin {equation} I = 1 \ end {equation}