Integrando uma função f (x)

Question

Estou um pouco confuso sobre uma integração que encontrei. $f(x)$ é uma função e estamos integrando:

$$\int_0^t {df(x)\over f(x)} = \ln \left({f(t)\over f(0)}\right)$$

Estou confuso porque esperava uma resposta como $\ln(f(x)) - \ln(f(0))$

Answer 1

Tecnicamente,

$$\log(f(x))-\log(f(0))$$ é ligeiramente diferente de $$\log\left(\frac{f(x)}{f(0)}\right)$$ porque o último também funciona quando as duas avaliações de função são negativas.

Você pode preferir as expressões $$\log(|f(x)|)-\log(|f(0)|)$$ ou $$\log\left(\left|\frac{f(x)}{f(0)}\right|\right)$$ mas, IMO, eles não são a melhor escolha porque funcionam para duas avaliações de signos diferentes, embora não devessem (cruzamentos de zero são desencorajados, pois isso torna um integral impróprio).

Answer 2

Na verdade, eles são equivalentes devido à regra de registro $$\ln b - \ln a = \ln \frac{b}{a}$$