Integrar sem usar Cosine Integral?

Question

Então eu mostrei que $\int_{-1}^{1} \sin{\frac{1}{x}} dx$é integrável usando teoremas especializados para integrabilidade. Minha pergunta é se eu queria calcular essa integral agora, há uma maneira de fazer isso sem usar a integral de cosseno$Ci(x)$após integração por partes. O que quero dizer é que até agora cheguei aqui:

$\int_{-1}^{1}\sin{\frac{1}{x}}dx = x\sin{\frac{1}{x}}\Big|_{-1}^{1}+\int_{-1}^{1}\frac{\cos{\frac{1}{x}}}{x} dx$

Então, há uma maneira de avaliar a integral $\int_{-1}^{1}\frac{\cos{\frac{1}{x}}}{x} dx$ sem utilizar $Ci(x)$?

Answer 1

Desde a $\;f(x)=\cfrac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x}\;$ é uma função estranha, resulta que $$\int_{-1}^{1}\cfrac{\cos{\frac{1}{x}}}{x} dx=0\;.$$