Interpretação geométrica de diferenciabilidade complexa
Eu quero saber a visão geométrica da diferença entre a diferenciabilidade de duas funções variáveis em $\mathbb R^2$ e o significado de diferenciabilidade para funções holomórficas, eu sei a solução com álgebra e ferramentas de análise, mas não sei o que acontecerá com sua geometria
Respostas
Diferenciabilidade real e complexa se resumem ao mesmo conceito: uma função $f:\mathbb C\to \mathbb C$ é diferenciável em $z_0$ se existe um mapa linear $L:\mathbb C\to\mathbb C$ que é uma boa aproximação de $f$ em $z_0$. Mais especificamente, significa que
$$\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-L(h)}{\vert h\vert}=0.$$
$f(z_0)+L(h)$ é a aproximação linear de $f$ em $z_0$, e a equação acima diz que a diferença entre $f$ e sua aproximação linear é de alguma forma pequena quando estamos perto de $z_0$ (significa que $h$é pequeno). A diferença entre os tipos de diferenciabilidade é sutil, mas importante. Está na definição de "linear". Existem duas maneiras de ver$\mathbb C$como um espaço vetorial. Tanto como um espaço vetorial bidimensional sobre$\mathbb R$, ou um espaço vetorial unidimensional sobre $\mathbb C$. E as duas noções resultarão em diferentes tipos de linearidade, chamados$\mathbb R$-linearidade e $\mathbb C$-linearidade. $\mathbb R$-Os mapas lineares são aqueles que você conhece bem da álgebra linear: rotações, dilatações, cisalhamento e muito mais. Mas$\mathbb C$- os mapas lineares são mais restritos. Um mapa$L:\mathbb C\to\mathbb C$ é $\mathbb C$-linear, se para todos $\lambda, z,w\in\mathbb C$ segura isso $L(z+w)=L(z)+L(w)$ e $L(\lambda z)=\lambda L(z)$. Basicamente como os mapas lineares usuais, mas os escalares que podemos extrair$L$agora são complexos em vez de apenas reais. E isso é grande, porque agora significa que$L(z)=L(1\cdot z)=L(1)\cdot z$. E podemos escolher$L(1)$ ao nosso gosto, então o $\mathbb C$-Os mapas lineares são apenas as multiplicações por um número complexo. E essas são conhecidas como dilatações de rotação, geometricamente: Multiplicando um número complexo$z$ por outro número complexo $c$ gira e dilata $z$ por um montante determinado por $c$ (a propósito, estes também são $\mathbb R$-linear, mas não todos $\mathbb R$-mapas lineares também são $\mathbb C$-linear). E essa é a grande diferença geométrica entre diferenciabilidade real e complexa: uma função é real diferenciável se puder ser aproximada por qualquer mapa linear. E é complexo diferenciável se puder ser aproximado por uma rotação-dilatação, que é um tipo muito específico de mapa linear. Além disso, as dilatações de rotação preservam os ângulos entre as curvas suaves, a menos que sejam o mapa zero. E as funções holomórficas também o fazem: tome quaisquer duas curvas regulares e suaves. Se aplicarmos um mapa holomórfico cuja derivada não está em lugar nenhum$0$para o plano complexo, obtemos duas curvas diferentes. Mas se eles se cruzaram antes, então eles ainda se cruzarão, e o ângulo de intersecção será o mesmo.
(Veja a figura abaixo)
Considere a matriz jacobiana de uma função $(u(x,y),v(x,y))$, $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$:
$$J=\begin{pmatrix}\partial u/\partial x&\partial u/\partial y\\ \partial v/\partial x&\partial v/\partial y\end{pmatrix}\tag{0}$$
No caso de uma função diferenciável complexa, suas entradas devem obedecer às equações de Cauchy-Riemann,
$$\partial u/\partial x=\partial v/\partial y \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ \partial u/\partial y=-\partial v/\partial x$$
Significa que $J$, tendo a estrutura:
$$J=\begin{pmatrix}a&-b\\b& \ \ a\end{pmatrix}\tag{1}$$
pode ser interpretado como a matriz de uma similitude (= rotação seguida de homotetia). Na verdade, configuração$a=r \cos \theta, b=r \sin \theta$, nós obtemos:
$$J=r\begin{pmatrix}\cos \theta&-\sin \theta\\ \sin \theta& \ \ \cos \theta\end{pmatrix}\tag{2}$$
Qual é o significado geométrico desses parâmetros $r$ e $\theta$? Tomemos o exemplo de função$$Z=f(z)=\sqrt{z}\tag{2}$$As linhas horizontais e verticais são mapeadas por transformação (2) em ramos de hipérboles. Por exemplo, o ramo (azul) da hipérbole mais próximo da origem é a imagem da linha vertical (azul)$x=1$; em particular, ponto$(1,0)$é a sua própria imagem ... A ortogonalidade das curvas é preservada (uma propriedade bem conhecida dos chamados mapeamentos conformes ).
Eu destaquei o ponto $z_0=3+4i$ que fica na intersecção da linha azul $x=3$ e linha vermelha $y=4$. Encontramos sua imagem$\sqrt{z_0}$ na interseção do $3$a 4ª hipérbole azul e a 4ª hipérbole vermelha. Claro, seu verdadeiro valor é por referência aos eixos coordenados$(u,v)$, e nós lemos $\sqrt{z_0}=2+i.$
vamos agora, conectar isso com o que foi dito antes: considere $2$ pequenas vizinhanças ao redor $z_0$ e sua imagem $\sqrt{z_0}$, materializado por quadrados verdes; o segundo quadrado verde é a imagem do primeiro por uma rotação e homotetia. A escala na figura direita sendo cerca de 4 vezes maior do que na figura esquerda, a razão de homotetia$r$ deve estar por perto $0.25$. Também podemos antecipar o ângulo de rotação que deve ser em torno$-30$ graus (o sinal de menos é importante!).
Vamos agora fazer cálculos precisos que irão confirmar que os valores aproximados que obtivemos acima estavam na faixa adequada.
Como a derivada de $f(z)=\sqrt{z}$ é $f(z)=1/(2\sqrt{z})$ (mesma fórmula que para seu primo real), isso dá para $z=z_0$:
$$f'(z_0)=1/(2 \sqrt{z_0})=1/(2(2+i))=0.2-0.1i=re^{i\theta}$$
cujo módulo $r=0.2236$ explicar a homothety ratio (diminuindo aqui), e o argumento
$$\theta \ = \ -\arctan \frac12 \ = \ -0.4636 \ \text{radians} \ = \ -26.56 \ \text{degrees}$$
Nossos palpites não foram ruins!
Observação 1: Tudo isso foi possível porque uma matriz como (1) ou (2) "é" um número complexo resp. sob sua forma algébrica e trigonométrica, mas um número complexo sob seu "aspecto dinâmico" atuando (por multiplicação) em seus colegas estáticos ...
Observação 2: Pode-se objetar que uma tradução também deveria ter sido levada em conta, mas não é o caso: para diferenciabilidade, consideramos que tudo se faz na origem tanto no plano original quanto no plano da imagem.
Fig.1: "Mapeamento conforme" associado à função $f(z)=\sqrt{z}$. As imagens de linhas horizontais e verticais$x=x_0$ e $y=y_0$ são hipérboles com equações $u^2-v^2=x_0$ e $2uv=y_0$resp. (com cores correspondentes).
E se $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ é suave, então, por definição, tem um J. Jacobiano. $f$ ser complexo diferenciável em um ponto $(x_0,y_0)$, deve existir um número complexo $w \in \mathbb{C}$ equivalente a $J$ no sentido de que para todos $x,y \in \mathbb{C}$, $$J\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = w(x + iy)$$ onde a multiplicação à esquerda é a multiplicação usual da matriz, mas a multiplicação à direita é a multiplicação em $\mathbb{C}$. As transformações lineares$J$ equivalente a multiplicar por alguns $w$são muito especiais; eles são formados por uma rotação e escala. Tristan Needham, em seu livro "Visual Complex Analysis", chama essas transformações (feitas de rotação + escala) de amplitwists.
Uma maneira informal de dizer isso: $f$é real diferenciável em$z$ se tem a propriedade de que, quando você olha para $f$ em um bairro muito pequeno ao redor $z$ então $f$começa a parecer linear; enquanto$f$é complexo diferenciável em$z$ se tem a propriedade de que, quando você olha para $f$ em um bairro muito pequeno ao redor $z$ então $f$começa a não apenas linear, mas como uma "amplitwist". Sob uma lupa,$f$ está apenas girando e escalando.
Eu tento explicar o significado de $f'(z)dz$para funções diferenciáveis complexas em um ponto . Deixe que os números complexos sejam interpretados no plano como setas partindo da origem e fazendo algum ângulo com$x$-eixo. Sua soma é clara (espero), mas sua multiplicação tem uma flecha com um comprimento como o produto dos comprimentos e um ângulo como a soma dos ângulos. Vamos escrever$dz = re^{i\varphi}$ e $f'(z) = Re^{i\Phi}$. O produto deles é$$ f'(z)dz = re^{i\varphi} Re^{i\Phi} = rR e^{i(\varphi + \Phi)} $$ Este produto deve representar a pequena mudança em $f(z)$ como resposta a uma mudança suficientemente pequena $dz$ dentro $z$. Isso é$$ \Delta f(z) \approx df(z) = rR e^{i(\varphi + \Phi)} $$ Agora segure $r,R$ e $\Phi$ consertar e mudar $\varphi$ você vê que a mudança em $f(z)$ (ou mais precisamente $df(z)$) gira com o mesmo ângulo $\varphi$. Isso é$df(z)$ e $dz$mantenha o ângulo entre eles. Permitir agora apenas$r$ mudar então $df(z)$ e $dz$ são escalados pelo mesmo número.
Esta dependência de $df(z)$ em $dz$corresponde a uma transformação linear, ou seja, uma rotação + escala pelo ângulo de$dz$e por seu comprimento respectivamente. Agora, a derivada em$\mathbb R^n$é uma transformação linear. O que temos em$\mathbb C$ é um caso especial disso em $\mathbb R^2$. Para mais informações sobre transformações lineares em$\mathbb R^2$veja este e este um lembrar que derivado complexo é um especial.