Invertibilidade de função específica
Este é o meu primeiro post. Não sou um matemático, apenas um engenheiro eletrônico que adora matemática. Em um de meus projetos, cheguei à seguinte função:
$$V\left(\varphi\right)=\frac{A\sqrt{\pi-\varphi+\sin{\varphi\cos{\varphi}}}}{\sqrt{2\pi}}$$
O projeto requer $V\left(\varphi\right)$ ser invertido, para obter o ângulo $\varphi$ (desconhecido), de uma tensão $V$ (conhecido). $V\left(\varphi\right)$é contínuo e estritamente monotônico (descendente), portanto, deve existir um mapeamento inverso. Tentei inverter simbolicamente, mas não consegui chegar a uma solução de forma fechada para$\varphi\left(V\right)$. Por "solução de forma fechada", quero dizer uma fórmula que me leva diretamente (algebricamente) de$V$ para $\varphi$. Acabei usando o MATLAB para computá-lo numericamente e o projeto foi concluído com sucesso. Isso foi há 11 anos (em 2009).
Recentemente, esse problema de inversão reapareceu. Por pura curiosidade, pedi ao meu primo (um matemático) que tentasse inverter simbolicamente a função acima, mas ele também não conseguiu, nem mesmo me deu uma resposta quanto à existência dessa solução. Então, minhas perguntas são as seguintes:
- Faz uma expressão de forma fechada para $\varphi\left(V\right)$ existir?
- Se a resposta para (1) for SIM, alguém pode fornecer essa função ou indicar um método para derivá-la?
- Se a resposta para (1) for NÃO, qual é a razão formal para isso? Existe como mostrar / provar que tal solução não existe?
Esta não é uma questão de dever de casa, e o problema prático associado já foi resolvido numericamente. Este post foi feito por pura curiosidade sobre a invertibilidade de funções da forma de$V\left(\varphi\right)$. Muito obrigado a todos por suas respostas.
Adicionando alguns gráficos, para melhor ilustrar o problema.
A figura a seguir mostra como a função que procuramos, $\varphi\left(V\right)$, parece. Observe que parece não haver simetria nesta função. Os valores de$\varphi$ mentir no intervalo $[0,\pi]$, enquanto os valores de $V\left(\varphi\right)$ mentir no intervalo $[0,\frac {A} {\sqrt2}]$.
Com base no comentário de @ user2661923, o problema pode ser reduzido à inversão de função $k=x-\sin(x)$. Neste caso, os valores de ambos$x$ e $k$ mentir no intervalo $[0,2\pi]$. A figura a seguir mostra um gráfico do inverso de$k=x-\sin(x)$, junto com um gráfico da própria função (linha tracejada). Traçar ambos no mesmo gráfico é útil, uma vez que ambos têm o mesmo intervalo para suas variáveis independentes e dependentes. Pode-se observar que agora há uma clara simetria desta função no ponto$(\pi,\pi)$, graças à remoção do termo raiz quadrada. Isso significa que só precisamos lidar com o intervalo$[0,\pi]$, e usar simetria nesse resultado para obter a outra metade ($[\pi,2\pi]$)
Respostas
Usando os comentários de @ user2661923, terminamos com $$k=x-\sin(x)$$
A primeira coisa que podemos fazer é uma expansão Taylor em torno $x=0$ ( para obter $$k=\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{120}+\frac{x^7}{5040}-\frac{x^9}{362880}+\frac{x^{11}}{39 916800}-\frac{x^{13}}{6227020800}+O\left(x^{15}\right)$$ o que é muito preciso.
Então, uma reversão em série leva a
$$x=t+\frac{t^3}{60}+\frac{t^5}{1400}+\frac{t^7}{25200}+\frac{43 t^9}{17248000}+O\left(t^{11}\right)$$ Onde $t=\sqrt[3]{6k}$.
Editar
Fazendo o mesmo por perto $x=\frac \pi 2$ , devemos pegar $$x=\frac{\pi }{2}+t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{2}-\frac{7 t^4}{12}+\frac{3 t^5}{4}-\frac{46 t^6}{45}+\frac{29 t^7}{20}-\frac{21341 t^8}{10080}+O\left(t^{9}\right)$$ Onde $t=k+1-\frac \pi 2$.
Fazendo o mesmo por perto $x=\pi $ , devemos pegar $$x=\pi +t+\frac{t^3}{12}+\frac{t^5}{60}+\frac{43 t^7}{10080}+\frac{223 t^9}{181440}+\frac{60623 t^{11}}{159667200}+\frac{764783 t^{13}}{6227020800}+O\left(t^{15}\right)$$ Onde $t=\frac{k-\pi}2$.
Em primeiro lugar, a maioria das expressões algébricas não tem belas inversas de forma fechada. Mesmo polinômios de grau 5 ou maior geralmente não terão um, exceto pelo uso de funções realmente esotéricas que não são mais fáceis de calcular do que os métodos numéricos que você mencionou.
Neste caso, você estaria bem, exceto por essa mistura de $\phi$dentro e fora das funções trigonométricas. Como user2661923 aponta, esta parte pode ser simplificada para$\sin\alpha - \alpha$, mas isso não tem um bom inverso. Veja bem, você pode definir uma função para fornecer esse inverso, mas isso é (principalmente) apenas embaralhamento linguístico, não uma solução real.
Basta dizer "Definir $w(y)$ ser o ângulo $\alpha$ para qual $\sin \alpha - \alpha = y$". Agora você pode resolver sua equação da seguinte maneira:
$$\phi = \frac 12w\left(\frac {2\pi V^2}{A^2} - \pi\right)$$
Parece melhor, mas do ponto de vista do cálculo, você não está realmente mais perto. Se você estiver procurando apenas alguns valores, um uso criterioso do método de Newton os encontrará mais rapidamente.
No entanto, se você precisar fazer esse cálculo repetidamente, faz sentido encontrar termos suficientes da série de Taylor de $w$para obter a precisão necessária. O inverso de$w$, isso é $\sin \alpha - \alpha$tem uma série de Taylor bem conhecida e existem técnicas para inverter séries de potências. Ou você pode usar a diferenciação implícita para encontrar derivados de$w$ e construir a série Taylor dessa forma.
Prefiro adicionar uma segunda resposta.
Se as reversões de série não são suficientemente boas, a única possibilidade prática que posso ver é expressar $\big[x-\sin(x)\big]$como uma função racional fácil de inverter. Então, a ideia era tentar reduzir o problema a uma equação quadrática em alguma potência de$x$.
A partir daí, a ideia de usar $$f(x)=x-\sin(x) \sim \frac {x^n(a+b x^n)}{1+cx^n+d x^{2n}}=g_n(x)$$ Combinando a função e os valores da primeira derivada em $x=0,\frac \pi 2,\pi$, foi calculado $$\Phi_k=\int_0^\pi \Big[f(x)-g_n(x)\Big]^2\,dx$$ O que foi obtido é $$\Phi_1=2.33\times 10^{-4} \qquad \Phi_2=7.33\times 10^{-5} \qquad \Phi_3=1.25\times 10^{-6}$$ Assim, $k=3$ foi retido (leva a um erro máximo de $0.0015$) Observe que essa escolha também é ditada pelo fato de que, plotada em função de$x$, $\big[x-\sin(x)\big]^{\frac 13}$ está muito próximo da linearidade.
Então, o problema é apenas uma equação quadrática em $x^3$ $$ (b-d k)x^6+ (a-c k)x^3-k=0$$
$$x=\left(\frac{\sqrt{(a-c k)^2+4 k (b-d k)}-(a-c k)}{2 (b-d k)}\right)^{\frac 13}$$
Os parâmetros são
$$a=\frac{819 \pi ^2-4704 \pi+6720}{2\pi^ 2(31 \pi^2 -72\pi-72) }\qquad \qquad b=-\frac{42 (\pi^2-56\pi+ 164)}{\pi ^5 (31 \pi^2 -72\pi-72)}$$ $$c=\frac{3 (395 \pi^2 -1472\pi+768)}{2 \pi ^3 (31 \pi^2 -72\pi-72)}\qquad \qquad d=-\frac{8 (32 \pi^2 -285\pi+576)}{\pi ^6 (31 \pi^2 -72\pi-72)}$$
Abaixo estão relatados alguns resultados
$$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{estimate} & \text{solution} \\ 0.0 & 0.00000 & 0.00000 \\ 0.1 & 0.85428 & 0.85375 \\ 0.2 & 1.08378 & 1.08369 \\ 0.3 & 1.24849 & 1.24852 \\ 0.4 & 1.38226 & 1.38228 \\ 0.5 & 1.49729 & 1.49730 \\ 0.6 & 1.59958 & 1.59959 \\ 0.7 & 1.69257 & 1.69259 \\ 0.8 & 1.77844 & 1.77851 \\ 0.9 & 1.85867 & 1.85881 \\ 1.0 & 1.93434 & 1.93456 \\ 1.1 & 2.00623 & 2.00655 \\ 1.2 & 2.07496 & 2.07538 \\ 1.3 & 2.14100 & 2.14151 \\ 1.4 & 2.20474 & 2.20534 \\ 1.5 & 2.26650 & 2.26717 \\ 1.6 & 2.32653 & 2.32726 \\ 1.7 & 2.38505 & 2.38584 \\ 1.8 & 2.44227 & 2.44308 \\ 1.9 & 2.49833 & 2.49915 \\ 2.0 & 2.55339 & 2.55420 \\ 2.1 & 2.60757 & 2.60834 \\ 2.2 & 2.66097 & 2.66169 \\ 2.3 & 2.71370 & 2.71436 \\ 2.4 & 2.76585 & 2.76643 \\ 2.5 & 2.81751 & 2.81799 \\ 2.6 & 2.86873 & 2.86912 \\ 2.7 & 2.91961 & 2.91989 \\ 2.8 & 2.97019 & 2.97038 \\ 2.9 & 3.02054 & 3.02065 \\ 3.0 & 3.07073 & 3.07077 \\ 3.1 & 3.12079 & 3.12080 \end{array} \right)$$
Usando como base este modelo, uma regressão não linear fornece os seguintes resultados $(R^2 > 0.9999999)$ $$\begin{array}{clclclclc} \text{} & \text{Estimate} & \text{Standard Error} & \text{Confidence Interval} \\ a & 0.164158286954 & 0.000056596 & \{0.164045944,0.164270630\} \\ b & 0.033111490794 & 0.000405629 & \{0.032306324,0.033916658\} \\ c & 0.241175528209 & 0.002683157 & \{0.235849503,0.246501553\} \\ d & 0.003405195311 & 0.000043215 & \{0.003319414,0.003490977\} \\ \end{array}$$
Tornando-os racionais $$a=\frac{5061}{30830} \qquad b=\frac{403}{12171}\qquad c=\frac{1551}{6431}\qquad d=\frac{148}{43463}$$ que estão bastante próximos dos valores teóricos dados acima (mas eles distribuem melhor os erros, sendo o máximo deles $0.0002$)
Outra solução
Construir ao redor $x=0$ o mais simples aproximador de Padé é $$x-\sin(x) \sim \frac {x^3}{6+\frac{3 }{10}x^2}$$ para o zero da função $$f(x)=x-\sin(x)-k$$ podemos gerar o ponto de partida $$t=\frac{k}{10} \left(1+2 \cosh \left(\frac{1}{3} \cosh ^{-1}\left(1+\frac{3000}{k^2}\right)\right)\right)$$
Usar a primeira iteração do método Householder original daria $$x\sim t+\frac{3 \left(\left(4 (k-t)^2+13\right) \sin (t)+16 (t-k) \cos (t)+16 k-16 t-8 \sin (2 t)+\sin (3 t)\right)}{72-8 (k-t) (\sin (2 t)-3 \sin (t))+\left(4 (k-t)^2-95\right) \cos (t)+24 \cos (2 t)-\cos (3 t)}$$ que parece ser muito melhor do que as anteriores (para sete algarismos significativos os resultados são idênticos).
$$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{estimate} & \text{solution} \\ 0.1 & 0.853750157 & 0.853750157 \\ 0.2 & 1.083691880 & 1.083691880 \\ 0.3 & 1.248515468 & 1.248515468 \\ 0.4 & 1.382284134 & 1.382284134 \\ 0.5 & 1.497300389 & 1.497300389 \\ 0.6 & 1.599585617 & 1.599585617 \\ 0.7 & 1.692592064 & 1.692592064 \\ 0.8 & 1.778505826 & 1.778505826 \\ 0.9 & 1.858809984 & 1.858809984 \\ 1.0 & 1.934563212 & 1.934563212 \\ 1.1 & 2.006551534 & 2.006551534 \\ 1.2 & 2.075377185 & 2.075377185 \\ 1.3 & 2.141513666 & 2.141513662 \\ 1.4 & 2.205341448 & 2.205341441 \\ 1.5 & 2.267172019 & 2.267172009 \\ 1.6 & 2.327264597 & 2.327264581 \\ 1.7 & 2.385838062 & 2.385838038 \\ 1.8 & 2.443079689 & 2.443079654 \\ 1.9 & 2.499151659 & 2.499151610 \\ 2.0 & 2.554196019 & 2.554195953 \\ 2.1 & 2.608338518 & 2.608338428 \\ 2.2 & 2.661691618 & 2.661691498 \\ 2.3 & 2.714356902 & 2.714356747 \\ 2.4 & 2.766427025 & 2.766426827 \\ 2.5 & 2.817987310 & 2.817987063 \\ 2.6 & 2.869117087 & 2.869116786 \\ 2.7 & 2.919890822 & 2.919890466 \\ 2.8 & 2.970379096 & 2.970378689 \\ 2.9 & 3.020649454 & 3.020649011 \\ 3.0 & 3.070767176 & 3.070766727 \\ 3.1 & 3.120795977 & 3.120795577 \end{array} \right)$$
Um método mais simples poderia ser fornecido usando a primeira iteração do método Halley original $$x \sim t+\frac{4 \sin ^2\left(\frac{t}{2}\right) (k-t+\sin (t))}{(k-t) \sin (t)+(\cos (t)-4) \cos (t)+3}$$
Em primeiro lugar, muito obrigado a todos os que responderam com respostas e comentários. Decidi não marcar nenhuma das respostas fornecidas como "aceitas", uma vez que minhas perguntas não foram realmente respondidas, mas sim aproximações do inverso de$V\left(\varphi\right)$foram fornecidos. A resposta de @PaulSinclair foi, talvez, a mais relevante de todas na tentativa de responder às minhas perguntas.
Pouco depois de postar aqui, também postei as mesmas perguntas para outra comunidade relevante do Stack Exchange, MathOverflow , onde recebi as respostas que estava procurando, embora não com a clareza que esperava (o que pode ser impossível, devido à dificuldade do problema). Referindo-se às respostas do meu post no MathOverflow , o que se segue é um resumo dos resultados que obtive.
Pergunta - Uma expressão de forma fechada para$\varphi\left(V\right)$ existir?
Resposta - Não, não existe (mas veja abaixo).
Pergunta - Qual é a razão formal para isso? Existe como mostrar / provar que tal solução não existe?
Resposta - Conforme mostrado no comentário de @ user2661923, e de Pietro Majer da MathOverflow, o problema pode ser reduzido à inversão de função$k=x-\sin(x)$. Rob Corless da MathOverflow observa que esta função corresponde exatamente à equação de Kepler ,$M=E-e \sin(E)$, Onde $e=1$. Rob Corless também acrescenta que se acredita que a equação de Kepler não possui nenhuma solução de forma fechada (muito menos uma solução elementar).
Piyush Grover, do MathOverflow, comenta que "a equação de Kepler é uma das equações mais estudadas na história da ciência. Se houvesse uma solução de forma fechada, ela já teria sido encontrada. Existem artigos sobre suas aproximações que aparecem até hoje! "
Além disso, o MathOverFlow aceitou a resposta de Timothy Chow menciona que a questão de saber se o inverso de$k=x-\sin(x)$tem uma solução de forma fechada pode ser respondida investigando se pode existir uma solução que se encontra na chamada extensão Liouvilliana de$\mathbb{C}(x)$, o campo das funções racionais de $x$com coeficientes complexos. Isso inclui qualquer função que pode ser obtida por meio de um número finito de aplicações de adição, subtração, multiplicação, divisão, tomada$n$as raízes, a exponenciação, a obtenção de logaritmos e, como estamos trabalhando com os números complexos, as funções trigonométricas e seus inversos também estão incluídas.
Timothy Chow expande ainda mais, fornecendo um teorema relevante e várias fontes que apóiam o argumento acima, e conclui fornecendo uma fonte, na qual é mencionado que o próprio Liouville já sabia que a solução para a equação de Kepler (ou seja, a solução para nosso problema) não é Liouvilliano (ou seja, não há solução de forma fechada, conforme definido acima).
Embora eu ainda não tenha conseguido decifrar totalmente todos os resultados fornecidos, provavelmente devido à minha falta de experiência e conhecimento em tópicos tão avançados da matemática - não sou um matemático, mas um engenheiro eletrônico - acredito que agora temos evidências suficientemente fortes para apoiar a resposta à minha primeira pergunta acima, ou seja, que não há expressão de forma fechada para $\varphi\left(V\right)$.
Aproximações do inverso de $k=x-\sin(x)$, e de $\varphi\left(V\right)$.
Entre as respostas que recebi aqui no Mathematics Stack Exchange, de particular interesse e significado prático estão as de @ClaudeLeibovici, que calculou aproximações do inverso de $k=x-\sin(x)$ usando uma variedade de métodos, conforme listado abaixo:
- Aproximação de expansão de Taylor (em vários pontos em$[0,\pi]$),
- Aproximação racional ,
- Aproximação de Padé (usando os métodos de Householder e Halley).
Você pode consultar suas respostas específicas para obter mais detalhes sobre cada abordagem. Eu avaliei todos os seus métodos e descobri que são de boa a excelente precisão e extremamente úteis em aplicações práticas, visto que fornecem formas fechadas para aproximações muito precisas de$\varphi\left(V\right)$, permitindo que seja avaliado em tempo real por um sistema baseado em microcontrolador incorporado, por exemplo.
A figura abaixo mostra os erros de cada aproximação, para o reduzido problema de inversão $k=x-\sin(x)$ (gráficos de topo), e para a solução completa do problema prático, ou seja, o cálculo de $\varphi\left(V\right)$(gráficos de baixo). Consulte os comentários que fiz a cada uma das respostas de Claude, para alguns pontos mais delicados sobre a implementação de cada método.
