Isomorfismo com função Ext

Question

Suponha que $M$ é uma classificação gratuita $n$ $R$-módulo e, além disso, suponha que um grupo $G$ age em $M$ e a $G$-a ação comuta com o $R$-açao. Portanto, temos um homomorfismo$\rho: G \rightarrow \text{GL}_n(R)$. Isso, por sua vez, nos dá uma$G$- ação em $\text{End}_R(M)$ através da $g\cdot \phi = \rho(g) \phi \rho(g)^{-1}$. Agora é$$\text{Ext}^1_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}, \text{End}_R(M)) \cong \text{Ext}^1_{R[G]}(M,M)?$$Eu sei que os conjuntos estão em bijeção por meio de um argumento bastante indireto, mas estou me perguntando se há um isomorfismo de grupo simples escondido aqui. Além disso, existem isomorfismos correspondentes de grupos Ext superiores?

Answer 1

Primeiro deixe $A$ seja qualquer $\mathbb{Z}[G]$-módulo e $M$ e $N$ qualquer $R[G]$-módulos.

Existe um isomorfismo natural de $R$-módulos $$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(A,\operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)) \cong \operatorname{Hom}_{R[G]}\bigl(A\otimes_{\mathbb{Z}}M,N\bigr)$$ (Onde $G$ age em $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ de $(g\cdot\varphi)(m)=g\varphi(g^{-1}m)$ e em $A\otimes_{\mathbb{Z}}M$ de $g\cdot(a\otimes m)=(ga)\otimes(gm)$), dado por $$\theta\mapsto[a\otimes m\mapsto \theta(a)(m)]$$ com inverso $$\psi\mapsto [a\mapsto[m\mapsto\psi(a\otimes m)]].$$

De agora em diante, assuma que $A$ é um projetivo $\mathbb{Z}[G]$-módulo e $M$ é projetivo como um $R$-módulo. Então, como functores de$R[G]$-módulos para $R$-módulos, $$\operatorname{Hom}_{R[G]}(A\otimes_{\mathbb{Z}}M, -)\cong \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(A,\operatorname{Hom}_R(M,-)\bigr),$$ o que é exato, então $A\otimes_{\mathbb{Z}}M$ é um projetivo $R[G]$-módulo.

Aplicando esses functores de $A$ para uma resolução projetiva $P_*$ do $\mathbb{Z}[G]$-módulo $\mathbb{Z}$, obtemos complexos de cadeia isomórfica $$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(P_*,\operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)) \cong \operatorname{Hom}_{R[G]}\bigl(P_*\otimes_{\mathbb{Z}}M,N\bigr).$$

A homologia do primeiro é $\operatorname{Ext}^*_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(\mathbb{Z}, \operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)$, e desde $P_*\otimes_{\mathbb{Z}}M$ é uma resolução projetiva de$M$ como um $R[G]$-módulo) a homologia do segundo é $\operatorname{Ext}^*_{R[G]}(M,N)$.

Em particular, se $M=N$ isso dá isomorfismos naturais de $R$-módulos $$\operatorname{Ext}^n_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(\mathbb{Z},\operatorname{End}_R(M)\bigr)\cong \operatorname{Ext}^n_{R[G]}(M,M)$$ para cada $n$.