Jacobiano de transformação

Question

Em Bayesian Data Analysis , PDF disponível gratuitamente , seção 4.1 (página 84, parte inferior), há um comentário dizendo:

Se tivéssemos construído a aproximação normal em termos de $p(\mu, \sigma^2)$, a segunda matriz derivada seria multiplicada pelo Jacobiano da transformação de $\log\sigma$ para $\sigma^2$ e o modo mudaria ligeiramente, para $\tilde{\sigma}^2 = \frac{n}{n+2}\hat{\sigma}^2$.

Minha pergunta é como calculamos o Jacobiano de $\log\sigma$ para $\sigma^2$? Posso diferenciar uma função em relação à outra, mas não consigo conciliar a mudança de modo declarada (o que me faz pensar que estou enganado).

desde já, obrigado

Answer 1

Para a transformação do parâmetro$$\eta\longmapsto\sigma^2=\exp\{2\eta\}$$o Jacobiano é $$\frac{\text d\sigma^2}{\text d\eta}=2\exp\{2\eta\}=2\sigma^2$$e as mudanças posteriores de $p(\mu,\eta)$ para dentro$$p^\prime(\mu,\sigma^2)=p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\times \frac{\text d\eta}{\text d\sigma^2} = p(\mu,\log(\sigma^2)/2) \frac{1}{2\sigma^2}$$que modifica a localização do modo: $$\arg\max_{\mu,\sigma^2}p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\ne \arg\max_{\mu,\sigma^2}p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\frac{1}{2\sigma^2}$$ Nomeadamente, $$\hat\sigma^2 = \arg\max_{\sigma^2} \left\{-n\log \sigma-\frac{n \hat\sigma^2}{2\sigma^2}\right\}$$ versus $${\tilde\sigma}^2 = \arg\max_{\sigma^2}\left\{-n\log \sigma-\frac{n \hat\sigma^2}{2\sigma^2}\underbrace{-\log \sigma^2}_{+\log \frac{\text d\eta}{\text d\sigma^2}}\right\}=\frac{n}{n+2}\hat\sigma^2$$