Lei do logaritmo iterado no espaço de Hilbert

Question

A lei padrão do logaritmo iterado expressa que se $X_1, X_2, \ldots$ são iid variáveis ​​aleatórias reais com média zero e variância $\sigma^2$, $$ \limsup_{n \to \infty} \frac {X_1 + \cdots + X_n}{\sqrt {2n \ln \ln n}} = \sigma $$quase com certeza. Junto com o mesmo resultado para$-X_1, -X_2, \ldots$, o mesmo limite é verdadeiro com valores absolutos em torno da soma $X_1 + \cdots + X_n$.

Existe um resultado correspondente quando o $X_i$'s assume valores em um espaço de Hilbert e os valores absolutos são substituídos pela norma de Hilbert?

Answer 1

Existem tais versões da lei do logaritmo iterado, mesmo para vetores aleatórios independentes em um espaço de Banach separável arbitrário. Veja, por exemplo, os Teoremas 4.1 e 4.2 .

No caso em que o espaço de Banach é um de Hilbert, o Teorema 4.1 implica o seguinte:

Teorema 1: Let$X,X_1,X_2,\dots$ ser iid vetores aleatórios em um espaço de Hilbert separável $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle,|\cdot|)$ com $EX=0$ e $E|X|^2<\infty$. Deixei$S_n:=X_1+\cdots+X_n$. Então$$\limsup_n\frac{|S_n|}{\sqrt{2n\ln\ln n}}=\sigma$$ quase com certeza, onde $$\sigma:=\sup\big\{\sqrt{E\langle X,f\rangle^2}\colon f\in H,|f|=1|\big\}.$$

Para deduzir o Teorema 1 do Teorema 4.1 , basta observar os seguintes dois pontos:

(i) Tendo em vista a fórmula (2.5) ,$\sup_{x\in K}|x|=\sigma$.

(ii) $E|S_n|\le\sqrt{E|S_n|^2}=\sqrt{nE|X|^2}=o(\sqrt{2n\ln\ln n})$, de modo que a condição (ii) do Teorema 4.1 é válida.

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No caso quando $H=\mathbb R$, O Teorema 1 torna-se a lei do logaritmo iterativo citado em sua postagem.