Limite dentro de um limite

Question

Ei, alguém pode me mostrar um procedimento passo a passo para mostrar que o abaixo é possível. Não consigo descobrir como reduzir um limite dentro de um limite para um único limite e substituir as variáveis ​​'a' e 'b' por 'c'

(Alguém mencionou limites iterados, mas não tenho certeza de como mostrá-los exatamente)

$$\lim_{a\to 0}\dfrac{\lim\limits_{b\to 0}\dfrac{{f(x+a+b)-2f(x+b)+f(x)}}{b}}{a}=\lim_{c\to 0}\frac{{{f(x+2c)-2f(x+c)+f(x)}}}{c^2}$$

Esta ideia é usada ao provar o derivado de Grunwald-Letkinov (https://en.wikipedia.org/wiki/GrünwaldLetnikov_derivative) e eles mencionaram que esta etapa é realizada assumindo que 'a' e 'b' convergem de forma síncrona e podem ser justificados por MVT. Se possível, você poderia explicar isso? e como eu usaria MVT para justificar isso.

Answer 1

Você pode reescrever o numerador superior como e assumindo $f$ é derivável então:

$\underbrace{\dfrac{f(x+a+b)-f(x+a)}b}_{\to f'(x+a)}-2\underbrace{\dfrac{f(x+b)-f(x)}b}_{\to f'(x)}+\underbrace{\dfrac{f(x+a)-f(x)}b}_{\to\infty}$

Então a menos $f$ é constante, o último termo diverge, pois você toma o $\lim\limits_{b\to 0}$ primeiro na expressão original, portanto, não acho que seja uma expressão bem formada.

Nota: você pode tentar aplicar a $f(x)=x$

Faria mais sentido substituir $-2f(x+b)$ de $-f(x+b)-f(x+a)$ e comparando com $f''(x)$.