Limite inferior de Cramer-Rao para $g(\lambda)$ = $e^{-\lambda}$ quando $x_i \sim Pois(\lambda)$

Question

Deixei $x_1 ... x_n$ estar $Pois(\lambda)$, $\lambda>0$ e $n \geq 2$. Usar$W(X)=I(X_1=0)$ estimar $g(\lambda)=e^{-\lambda}$. Além disso,$T(X)= \sum_{i=1}^n X_i$ é uma estatística suficiente para $\lambda$.

Eu já provei isso $\phi(T(X))=(1-\frac{1}{n})^{\sum_{i=1}^n X_i}$ é um estimador imparcial de $e^{-\lambda}$.

Eu quero provar se $\phi(T(X))$ atinge o limite inferior de Cramer-Rao, mas me perco tentando calculá-lo aplicando a definição.

Answer 1

Primeiro, vamos calcular a variância de $\phi(T(X))$:

$$\begin{align} \mathbb E[\phi(T(X))^2]&=\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{-n\lambda}(n\lambda)^k}{k!}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2k}\\ &=e^{-n\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{(n\lambda)^k}{k!}\left(1-\frac 2n+\frac 1{n^2}\right)^k\\ &=e^{-n\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\left(n\lambda-2\lambda+\frac{\lambda}{n}\right)^k\\ &=e^{-n\lambda}\cdot e^{n\lambda-2\lambda+\frac\lambda n}\\ &=e^{\lambda\left(\frac{1}{n}-2\right)} \end{align}$$

E, usando o fato de que $\phi(T(X))$ é imparcial:

$$\begin{align} \text{Var}(\phi(T(X)))&=\mathbb E[\phi(T(X))^2]-\mathbb E[\phi(T(X))]^2\\ &=e^{\lambda\left(\frac{1}{n}-2\right)}-e^{-2\lambda}\\ &=e^{-2\lambda}\cdot\left(e^{\lambda/n}-1\right) \end{align}$$

Agora, temos que comparar isso com o limite de Cramér-Rao. A função de verossimilhança é dada por:

$$\begin{align} \ell(\lambda)&=\sum_{i=1}^n\log\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{X_i}}{X_i!}\right)=-n\lambda + \log(\lambda)T(X)-\sum_{i=1}^n\log(X_i!) \end{align}$$

Então, podemos obter as informações de Fisher:

$$\begin{align} \mathcal I_F&=-\mathbb E\left[\frac{\partial^2\ell(\lambda)}{\partial\lambda^2}\right]=\mathbb E\left[\frac{T(X)}{\lambda^2}\right]=\frac n\lambda \end{align}$$

Finalmente, o Cramér-Rao com destino $g(\lambda)$ é:

$$\frac{g'(\lambda)^2}{\mathcal I_F}=\frac{e^{-2\lambda}}{n/\lambda}=\frac{\lambda}{n}e^{-2\lambda}$$

Que é diferente da variância que encontramos anteriormente, portanto, o estimador que você encontrou não atinge o limite de Cramér-Rao . Você também pode provar, usando a expansão de Taylor, que seu estimador é assintoticamente eficiente , ou seja, a variância do estimador é assintoticamente igual ao limite de Cramér-Rao.

Espero que tenha sido útil!