Limite sob Sinal Integral com Integrando Complexo

Question

Estive revisando análises complexas e me deparei com o seguinte problema:

Deixei $h(t)$ ser uma função de valor complexo no intervalo de unidade e definir $$H(z) = \int_0^1\frac{h(t)}{t-z}dt, \quad z \in \mathbb{C}\setminus[0,1].$$ Mostra isso $H$ é complexo diferenciável.

Eu estava pensando em algo parecido com

$$\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{H(z)-H(z_0)}{z-z_0} = \lim_{z\rightarrow z_0}\frac{1}{z-z_0}\int_0^1h(t)\left(\frac{1}{t-z} - \frac{1}{t-z_0}\right)dt = \\ = -\lim_{z\rightarrow z_0}\int_0^1\frac{h(t)}{(t-z)(t-z_0)}dt = -\int_0^1\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{h(t)}{(t-z)(t-z_0)}dt = \\ = \int^1_0\frac{h(t)}{(t-z_0)^2}dt$$então o limite existe e é contínuo. No entanto, não tenho certeza sobre a etapa em que o limite e a integral são trocados, uma vez que o integrando é complexo. Para integrandos reais, temos o teorema da convergência dominada e outros resultados. Isso também vale para integrandos complexos ou essa etapa pode ser justificada de alguma outra maneira?

Qualquer ajuda seria apreciada!

Answer 1

E se $h$ é tal que $d\nu=h(t)dt$define uma medida complexa finita, então a resposta é sim. Rudin faz assim:

$\tag1 \text{define}\quad \displaystyle F(z)=\int_0^1\frac{d\nu}{t-z}\quad \text{and let}\quad z_0\in \mathbb C\setminus [0,1]$

Podemos encontrar um $r>0$ de modo que a bola $B_r(z_0)\subseteq \mathbb C\setminus [0,1]$. Então,$\left|\frac{z-z_0}{t-z_0}\right|<\frac{|z-z_0|}{r}<1$ assim que $z\in B_r(z_0).$ Corrigir tal $z.$

Agora,

$\tag2 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{(z-z_0)^{n+1}}{(t-z_0)^n}=(z-z_0)\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z-z_0}{t-z_0}\right)^n=(z-z_0)\frac{1}{1-\left(\frac{z-z_0}{t-z_0}\right)}=\frac{1}{t-z}$

E uma vez que a convergência é uniforme em $[0,1]$, podemos trocar somatório e integração, depois de substituir a soma na integral. Isso expressa$F$ dentro $B_r(z_0)$ como uma série de poder

$\tag3 \displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n\quad \text{with} \quad a_n=\int_0^1\frac{d\nu}{(t-z_0)^{n+1}}$