Limites e continuidade de um derivado

Question

Estou começando a aprender sobre continuidade e estou tendo um pequeno problema. Dei uma olhada online, mas não consigo encontrar a explicação que procuro. Estive olhando para o exemplo clássico de uma derivada que não é contínua:

$$f(x) = \begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x}) & \quad x\ne0 \\ 0 & \quad x=0 \end{cases} $$

Eu entendo o processo de uso de limites para verificar se $f(x)$ é contínua e diferenciável, como chegar à conclusão de que $f'(0) = 0$, e que o $\lim\limits_{x \to 0} (-\cos(\frac{1}{x})+2x \sin(\frac{1}{x}))$ não existe.

O que eu não entendo é que se $f'(x)$ não tem limite como $x$ aproxima $0$, então como pode ser o caso de podermos calcular que $f'(0) = 0$? Como conseguimos calcular a derivada em um ponto de descontinuidade? É o limite do quociente de diferença usado apenas para determinar que$f(x)$ tem uma derivada em $0$ e este resultado é completamente anulado pelo fato de que calculamos que há uma descontinuidade em $x=0$. Achei que o ponto de uma descontinuidade era que você não podia fazer coisas como criar uma expressão para sua derivada.

Answer 1

Usando MVT, você pode provar facilmente que se $ f $ é contínuo em $ [a,b] $ e diferenciável em $ (a,b] $ com $$\lim_{x\to a^+}f'(x)= L \in \Bbb R $$ Então, $ f $ é diferenciável em $ [a,b] $ e

$$f'(a)=L$$

Seu contra-exemplo simplesmente prova que o inverso nem sempre é verdadeiro.

Answer 2

Suponha que a derivada foi definida como $$ f^\dagger(x) = \lim_{y,z \to x} \frac{f(y) - f(z)}{y-z} ,$$ então $f(x) = x^2 \sin(\frac1x)$ não seria diferenciável em $x = 0$. Ou seja, você pode encontrar uma sequência de pontos$y_n,z_n \to 0$de modo que a inclinação entre esses pontos oscile. Você pode fazer isso, por exemplo, fazendo a distância entre$x_n$ e $y_n$ muito menor do que a distância entre $x_n$ e $0$. Acho que essa definição teria sido muito razoável, mas não foi a que escolheram.

Acho que essa foto ilustra o que está acontecendo. Veja que há uma sequência de pontos indo para zero de forma que a inclinação entre esses pontos definitivamente não seja próxima de 0. Mas a derivada em 0 definitivamente é zero.