Linkage e Cohen-Macaulay-ness

Question

Suponha que eu tenha um esquema lci reduzido com dois componentes irredutíveis:$X = Y \cup Z$. Eu quero dizer que se$Y$é Cohen-Macaulay então$Z$é também.

Acho que isso segue do Teorema de Eisenbund 21.23 (que tem um erro de digitação: o primeiro$J = (0:_A I)$deve ser excluído). Ou de Peskine e Szpiro, "Liaison des variétés algébriques", Proposição 1.3, que é essencialmente a mesma.

Estou entendendo corretamente?

Answer 1

A questão é local. Então deixe$R$seja um anel local que é Gorenstein.$I,J\subset R$definir$Y,Z$como na sua pergunta. Então você tem uma sequência exata$0\to I\to R\to R/I\to 0$e estamos assumindo que$R/I$é Cohen-Macaulay. Observe que todos$R,R/I,R/J$tem a mesma dimensão$d$. Dualizando, obtém-se$0\to\omega_{R/I}\to R\to R/J\to 0$. Isso implica que a profundidade de$R/J\geq d-1$. Indo módulo um conjunto geral de$d-1$elementos no ideal maximal, pode-se reduzir ao caso onde$d=1$. Agora dualize novamente para obter,$0\to \operatorname{Hom}_R(R/J,R)\to R\to R/I\to\operatorname{Ext}^1_R(R/J,R)\to 0$. É claro por naturalidade, que o mapa$R\to R/I$é sobre e, portanto, o ext é zero. Isso diz que a profundidade de$R/J>0$que é o que queríamos.

Answer 2

Não tenho acesso a nenhuma das suas referências, mas aqui, parece-me, é um contra-exemplo. Pegue uma superfície quádrica lisa$Q$dentro$\mathbb P^3$, uma curva suave$C$dentro$Q$de bigrau$(1,3)$e outra curva suave$D$dentro$Q$de bigrau$(3,1)$. Cada um de$C,D$é um quarto torcido em$\mathbb P^3$. Leva$Y,\ Z$e$X$para ser os cones afins sobre$C,\ D$e$C\cup D$, respectivamente.$C\cup D$é um$(2,4)$interseção completa em$\mathbb P^3$, assim$X$é lci Além disso,$X=Y\cup Z$, enquanto$Y,Z$são cones sobre quárticos torcidos, então não Cohen-Macaulay.