Mapa adequado em $n$-esfera

Question

As funções adequadas são definidas em espaços topológicos.

Para funções $f:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}^d$as condições "simplificam" para$\lim_{x\rightarrow \infty}|f(x)|=\infty$.

São "simplificações" semelhantes conhecidas para funções sobre a n-esfera $S^{d}=\{x\in\mathbb{R}^{d+1} \mid \|x\|=1\}$, ou seja, $f:S^{d}\rightarrow S^{d}$?

Answer 1

Uma função $f$ de $\mathbb{S}^d$ para si mesmo é adequado se for contínuo.

Observe que $\mathbb{S}^d$ é compacto e, portanto, cada subconjunto fechado dele é compacto e vice-versa

• Contínuo$\rightarrow$adequado. Cada função contínua$f:\mathbb{S}^d\to \mathbb{S}^d$ é adequado, uma vez que $f^{-1}$ envia conjuntos fechados (= compactos) para conjuntos fechados (= compactos).

• Adequado $\rightarrow$contínuo. Cada função adequada$f:\mathbb{S}^d\to \mathbb{S}^d$ é tal que $f^{-1}$envia conjuntos compactos (= fechados) para conjuntos compactos (= fechados). Esta é uma das possíveis definições de continuidade

O resultado é verdadeiro de uma forma mais geral: dado um espaço compacto de Hausdorff $X$, $f:X\to X$ é adequado se for contínuo,