Mapa de restrição entre espaços duplos

Question

Observe que não há operador limitado $T : c_0 \rightarrow c_{00}$ de tal modo que $T|c_{00}$ é o mapa de identidade.

Considere o mapa de restrição fornecido por $F:c_0^* \rightarrow c_{00}^*$, Onde $F(f)(x)=f(x)$, para $f \in c_0^*, x \in c_{00}^*$.

Eu mostrei que está bem definido. Estou tentando determinar se é injetivo e se é sobrejetivo.

Minha intuição é que é uma bijeção, como $c_0^*=c_{00}^*=l_1$, quando $c_0^* $ e $c_{00}^*$ estão sob a norma suprema.

Mas não tenho certeza de como construir a prova.

Answer 1

(com base no comentário de Jochen)

Para injetividade, suponha que $f\in c_0^*$ satisfaz $F(f)(x)=0$ para todos $x\in c_{00}$. Então nós temos$f(x)=0$ para todos $x\in c_{00}$, e desde $c_{00}$ é denso em $c_0$ isso implica $f=0$.

Para sobrejetividade, suponha que $g\in c_{00}^*$é dada. Desde a$g$ é um funcional em $c_{00}$, podemos estendê-lo para um funcional $f\in c_0^*$usando o teorema de Hahn-Banach. Aqui, extensão significa que$f(x)=g(x)$ para todos $x\in c_{00}$. Isso implica$F(f)=g$, e assim $F$ é sobrejetora.