$\mathbb N$ é um campo
Encontramos uma bijeção $\phi$ entre $\mathbb N$ e $\mathbb Q$. Portanto, definir adição e multiplicação correspondentemente em$\mathbb N$ (de tal modo que $\phi$ torna-se um homomorfismo) transforma $\mathbb N$ em um campo.
Existe um erro no meu raciocínio?
Respostas
Um campo não é apenas um conjunto , é um conjunto junto com alguma estrutura adicional (as duas operações de campo). Portanto, não é bem verdade que$\mathbb{Q}$ é um campo - em vez disso, $(\mathbb{Q};+,\times)$ é um campo.
Bijeções nos permitem "estrutura de transporte:" se $\oplus,\otimes$ são operações binárias em algum conjunto $A$ de tal modo que $(A;\oplus,\otimes)$ é um campo e $f:A\rightarrow B$é uma bijeção, podemos dar$B$a estrutura de um campo de forma natural: considere as operações$\hat{\oplus}$ e $\hat{\otimes}$ dado por $$x\hat{\oplus} y=f(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y))\quad\mbox{and}\quad x\hat{\otimes}y=f(f^{-1}(x)\otimes f^{-1}(y))$$ para $x,y\in B$. Mas o set $B$em si não é um campo; ao invés, a estrutura $(B; \hat{\oplus},\hat{\otimes})$ é um campo.
Em particular, quando levantamos o usual $+$ e $\times$ ao longo da sua bijeção favorita $h:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}$, temos operações $\hat{+}$ e $\hat{\times}$ de tal modo que $(\mathbb{N};\hat{+},\hat{\times})$é um campo, mas essas operações terão uma aparência muito estranha - em particular, serão totalmente diferentes da adição e multiplicação usuais de números naturais a que estamos acostumados. Portanto, não há tensão entre este resultado e o fato de que$(\mathbb{N};+,\times)$claramente não é um campo.
Não há engano. Na verdade, qualquer conjunto infinito pode ser transformado em um campo. Observe que as operações que você define em$\mathbb N$ desta forma será necessariamente diferente da adição e multiplicação usuais de números naturais (porque com as operações usuais os números naturais não são um campo).
Usando o mapeamento diagonal usual, mas alternando entre valores positivos e negativos e pulando as representações duplicadas de "frações não nos termos mais baixos", podemos ter a bijeção dos quais os primeiros termos são:
$$1\mapsto 0; 2\mapsto 1;3\mapsto -1; 4\mapsto 2;5\mapsto -2; 6\mapsto \frac 12; 7\mapsto -\frac 12; 8\mapsto 3;9\mapsto -3;10\mapsto \frac 13;11\mapsto -\frac 13; 12\mapsto 4;13\mapsto -4; 14\mapsto \frac 32; 15\mapsto -\frac 32; 16\mapsto \frac 23; 17\mapsto -\frac 23; 18\mapsto \frac 14;19\mapsto -\frac 14... etc...$$
Agora, este é um campo. A identidade aditiva é$1$ e $1 + k = k+1 = k$ para todos $k \in \mathbb N$.
Cada valor, $k$ tem um inverso aditivo, $-k$ de modo a $k+(-k)= 1$. Por exemplo, o inverso aditivo de$4$ é $-4 =5$ e $4+5 = 1$. Da mesma forma$-11 = 10$ e $11 + 10 = 1$.
A identidade multiplicativa é $2$ e $2\cdot k = k\cdot 2 = k$ para todos $k \in \mathbb N$.
E para cada valor $k$ exceto $1$, terá um inverso multiplicativo $\frac 1k$ Onde $k\cdot \frac 1k = 2$. Por exemplo$\frac 14 = 6$ e $4\cdot 6 = 2$.
E assim por diante.
Tudo isso faz sentido porque tudo que fiz foi substituir os números racionais "usuais" pelos que são mapeados para eles. Se eu fizer anotações de$k \color{blue}{\mapsto m}$ para representar o que "realmente" quero dizer e recortar e colar o que escrevi acima, seria:
...........
Agora, este é um campo. A identidade aditiva é$1\color{blue}{\mapsto 0}$ e $1\color{blue}{\mapsto 0} + k = k+1\color{blue}{\mapsto 0} = k$ para todos $k \in \mathbb N$.
Cada valor, $k$ tem um inverso aditivo, $-k$ de modo a $k+(-k)= 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Por exemplo, o inverso aditivo de$4\color{blue}{\mapsto 2}$ é $-4\color{blue}{\mapsto 2} =5\color{blue}{\mapsto -2}$ e $4\color{blue}{\mapsto 2}+5\color{blue}{\mapsto -2} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Da mesma forma$-11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} = 10{\mapsto \frac 13}$ e $11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} + 10\color{blue}{\mapsto \frac 13} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$.
A identidade multiplicativa é $2\color{blue}{\mapsto 1}$ e $2\color{blue}{\mapsto 1}\cdot k = k\cdot 2\color{blue}{\mapsto 1} = k$ para todos $k \in \mathbb N$.
E para cada valor $k$ exceto $1\color{blue}{\mapsto 0}$, terá um inverso multiplicativo $\frac 1k$ Onde $k\cdot \frac 1k = 2\color{blue}{\mapsto 1}$. Por exemplo$\frac 1{4\color{blue}{\mapsto 2}} = 6\color{blue}{\mapsto \frac 12}$ e $4\color{blue}{\mapsto 2}\cdot 6\color{blue}{\mapsto \frac 12} = 2\color{blue}{\mapsto 1}$.
E assim por diante.