$\mathbb{P}(X>Y)$ e distribuição uniforme

Question

Eu não entendo porque, para um triângulo definido em $(0,0)$,$(0,2)$ e $(2,0)$ e uma densidade de junta $f_{XY}(x,y)=\frac{1}{2}$, Eu obtenho:

• $\mathbb{P}(X>Y)=f_{XY}(x,y)\cdot($área do triângulo $(0,0)$,$(2,0)$ e $(1,1))=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$

• $\mathbb{P}(X>Y)=\int_{0}^{2}[\int_{0}^{2-x}f_{XY}(x,y)\operatorname{dy}]\operatorname{dx}=1$

Onde estou errado se temos $0<y<x<2$?

Agradecemos antecipadamente por qualquer esclarecimento.

Answer 1

Onde estou errado se temos 0 <y <x <2?

Como eu disse a você, em qualquer caso, um desenho pode ajudar

Seu objetivo é integrar o denisty conjunto no triângulo roxo. Neste caso, a melhor ordem de integração é "Y-simples"

$$\mathbb{P}[X>Y]=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{2-y}dx=\frac{1}{2}$$

Answer 2

Você precisa $y$ ser menos que $x$ e menos que $2-x$, ou colocado de forma diferente $y< \min(x,2-x)$. Portanto, a integral correta é \ begin {align *} \ mathbb {P} (X> Y) & = \ int_0 ^ 2 \ int_0 ^ {\ min (x, 2-x)} f (x, y) \: dy \: dx \\ & = \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ xf (x, y) \: dy \: dx + \ int_1 ^ 2 \ int_0 ^ {2-x} f (x, y) \: dy \: dx \\ & = \ int_0 ^ 1 \ frac {x} {2} \: dx + \ int_1 ^ 2 \ frac {2-x} {2} \: dx \\ & = \ frac {1} {2} \ end {align *}