Matriz de blocos com vários inversos?

Question

Neste artigo da Wikipedia sobre matrizes de blocos, existem duas expressões para o inverso de uma matriz de blocos. Essas duas expressões dependem da invertibilidade de uma das submatrizes diagonais e do complemento de Schur das outras.

Minha pergunta é, se todas as condições de invertibilidade se mantêm, a saber $\mathbf{A}$, $\mathbf{D}$, $\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}$, e $\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}$ são todos invertíveis, as duas expressões para o inverso são equivalentes?

Answer 1

Eles são obviamente equivalentes, já que o inverso de uma matriz quadrada é único, mas você também pode ver sua igualdade como uma variante da identidade $$ (I-XY)^{-1}=I+X(I-YX)^{-1}Y\tag{1} $$ Onde $X$ e $Y$ são quaisquer duas matrizes retangulares tais que $I-XY$ e $I-YX$são invertíveis. Se você aprendeu sobre o método de identidades universais ,$(1)$ surge naturalmente da expansão $(I-XY)^{-1}$ como uma série de poder formal \begin{aligned} (I-XY)^{-1} &=I+XY+XYXY+XYXYXY+\cdots\\ &=I+X(I+YX+YXYX+\cdots)Y\\ &=I+X(I-YX)^{-1}Y.\\ \end{aligned} Você também pode provar $(1)$ diretamente: \begin{aligned} &(I-XY)\left[I+X(I-YX)^{-1}Y\right]\\ &=I-XY+X(I-YX)^{-1}Y-XYX(I-YX)^{-1}Y\\ &=I-XY+X(I-YX)(I-YX)^{-1}Y\\ &=I-XY+XY\\ &=I. \end{aligned} De qualquer forma, se colocarmos $X=BD^{-1}$ e $Y=CA^{-1}$ para dentro $(1)$, nós obtemos \begin{aligned} (I-BD^{-1}CA^{-1})^{-1}&=I+BD^{-1}(I-CA^{-1}BD^{-1})^{-1}CA^{-1},\\ A(A-BD^{-1}C)^{-1}&=I+B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1},\\ (A-BD^{-1}C)^{-1}&=A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}.\\ \end{aligned}