Matriz unitária comuta com função

Question

Estou me perguntando em quais casos a seguinte identidade é satisfeita: $$ f\left(UXU^T\right) = Uf\left(X\right)U^T $$ Onde $X \in \mathbb{R}^{n\times n}$ é uma matriz quadrada, $U$ é qualquer matriz de permutação e $ f:\mathbb{R}^{n\times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n\times n}$

Já conheço dois casos:

1. $f$ pode ser expressa como uma série de Taylor de matriz (neste caso $U$ pode ser qualquer matriz unitária)
2. $f$ é uma função elementar

Esses são os casos gerais?

Bônus:

Existe uma extensão da identidade anterior para tensores $T \in \mathbb{R}^{n^m}$ e $f:\mathbb{R}^{n^m} \rightarrow \mathbb{R}^{n^m}$. Não tenho certeza de como é o produto e o operador$U$ levaria nesse caso.

Answer 1

Aqui está um pouco de literatura relevante:

• Deep Sets (NISP 2017) classifica todas as funções lineares $\mathbb R^{n\times k} \to \mathbb R^{n\times l}$ que são invariantes de permutação / equivariáveis ​​ao longo do primeiro eixo.

• On Universal Equivariant Set Networks (ICLR 2020) trata do caso de encontrar todas as funções polinomiais homogêneas $\mathbb R^{n\times k} \to \mathbb R^{n\times l}$ que são equivariáveis ​​de permutação no primeiro eixo.

• Redes de Grafos Invariantes e Equivariantes (ICLR 2019) lida com o caso de encontrar funções lineares $\mathbb R^{n^k} \to \mathbb R^{n^k}$ que são invariantes de permutação / equivariáveis ​​em todos $k$ machados

Especialmente, o terceiro artigo dá como exemplo o caso da função linear $\mathbb R^{n^2}\to\mathbb R^{n^2}$ que são equivariantes de permutação em cada eixo, ou seja, $f(P^T X P)=P^T f(X) P$, que é precisamente o seu problema. Eles mostram que o espaço de tais funções lineares é$15$-dimensional, independente de$n$(!) .

Pode-se combinar os artigos 2 e 3 para encontrar todas as funções polinomiais homogêneas $\mathbb R^{n^k}\to\mathbb R^{n^k}$ que são equivariantes de permutação em todos $k$ machados.