Máximo de um Conjunto Simples

Question

Estou lutando para provar o mínimo de um conjunto simples como $S=\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\;;\;n\in\mathbb{N}\right\}$ o que eu faria primeiro é perceber que $n\geq 1$ implicaria que $2^{n}\geq 2\implies \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\geq \frac{2}{3^{n}}$ e então podemos ver que $0$ é o mínimo, mas não sei como usar corretamente a propriedade Arquimediana aqui para mostrar que $0$ é o maior limite inferior de $S$.

Answer 1

O conjunto $S$ consiste apenas em números positivos, de modo que nenhum número positivo é um $\inf$ (ou seja, para qualquer positivo $\varepsilon$ número, há um elemento de $S$ que é menor que $\varepsilon$) Para mostrar que é preciso encontrar para qualquer$\varepsilon$ que um $n$ existe tal que $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{n} \le \varepsilon \\ \overset{\ln(\cdot)}{\implies}\quad n\ln\left(\frac{2}{3}\right) \le \ln(\varepsilon) \quad\overset{(\cdot)/\ln\left(\frac{2}{3}\right)}{\implies}\quad n \ge \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)} $$ o último sinal de desigualdade foi revertido devido à divisão por $\ln(2/3)$, o que é negativo.

Isso significa que o $\inf$em não positivo (negativo ou zero). O inf não pode ser negativo porque para qualquer negativo existe um negativo maior como um limite inferior. Portanto, continua a ser zero