'Melhor' comprimento da agulha de Buffon

Question

Suponha que conduzamos o experimento da agulha de Buffon, deixando cair aleatoriamente uma agulha de comprimento $L\in(0,1]$ entre linhas horizontais que estão a uma distância de $1$separados. É bem conhecido que a probabilidade de que a agulha cruze uma dessas linhas é igual a$p=2L/\pi$, para que possamos estimar $\pi$ de $2L/\hat p=2Ln/m$, Onde $n$ é o tamanho do experimento de Monte Carlo, e onde $m$ é o número de cruzamentos.

Estou procurando o comprimento ideal $L$ da agulha, fazendo a estimativa para $\pi$o mais preciso possível. Parece razoável que quando uma interseção é tão provável quanto nenhuma, então quando$L=\pi/4$, a estimativa é mais eficiente (embora eu não tenha certeza se isso está correto e, em caso afirmativo, por quê).

Mais especificamente, estou procurando a variação de $2L/\hat p$. Isso parece se resumir a estimar a variância do recíproco de uma va binomial, para a qual não existe uma expressão agradável. Provavelmente há alguma outra abordagem que não estou vendo. Qualquer ajuda é muito apreciada.

NB: isso é apenas para fins teóricos; Não me importo de usar$\pi$ no processo de estimativa $\pi$ em si.

Answer 1

Você também pode estimar $1/\pi$ de $\hat p/2L,$ cuja variância é mais fácil de calcular.

Para grande o suficiente $R,$ a distribuição de $\hat p$ por aí $p$ estará concentrado perto $p$ e quase simétrico próximo $p.$ Quando você supõe que um $95\%$ intervalo de confiança é $\hat p\pm1.96\frac{2L}\pi\left(1-\frac{2L}\pi\right)/\sqrt R,$você está assumindo que a distribuição é simétrica dentro desse intervalo em torno$p$.

O CI simétrico em torno $\hat p$ irá mapear para um CI assimétrico em torno $1/\hat p$ quando você usa $1/\hat p$ como um estimador para $\pi,$ mas isso significa apenas que o CI simétrico que você deseja ao redor $1/\hat p$ vem de um CI assimétrico em torno $\hat p$. Se sua estimativa de$\pi$ tem uma quantidade decente de precisão, a assimetria do IC desejado em torno $\hat p$não é muito. Parece razoável supor que o valor de$L$que minimiza o CI assimétrico é o mesmo que minimiza o CI simétrico. Isso pode não ser perfeitamente preciso, mas também não é o uso de uma distribuição normal no lugar da distribuição binomial real de$\hat p$.