Modelo de cardinalidade $\lambda$ onde cada subconjunto definível é finito ou tem tamanho $\lambda$
Deixei $T$ seja consistente e $P$ é um predicado em $L(T)$. Suponha$\lambda \ge \aleph_0 + |L(T)|$. Então se$T$ tem um modelo infinito, existe um modelo $M$ do $T$ de cardinalidade $\lambda$ de modo que todo subconjunto definível é finito ou tem cardinalidade $\lambda$.
Como provar isso? Em primeiro lugar, suponha$T$ não prova $P$ é finito (nesse caso, não há muito o que fazer com $P$) Então$T \cup \{P(c_i) : i < \lambda \} \cup \{\neg P(d_i) : i < \lambda \}$ é consistente onde $\{c_i, d_i : i < \lambda\}$são novos símbolos constantes. Isso deixa o problema de, bem, todas as outras fórmulas. Pode haver outra relação, constante e símbolos de função em$L(T)$, com a qual não tenho certeza de como lidar. É uma questão de pegar todas as fórmulas não algébricas e dizer que existem$\lambda$ muitas constantes que o satisfazem, e $\lambda$muitos que não o fazem? Se sim, então o que$P$ tem a ver com isso?
Edit: esqueci de ter certeza de que o modelo sairia com cardinalidade $\lambda$. Mas isso simplesmente decorre do fato de que, uma vez que iremos adicionar$\lambda$ muitos novos símbolos constantes para cada fórmula $\varphi$ e há $\leq \lambda$ muitas dessas fórmulas, o número total de símbolos constantes adicionados será $\lambda \times \lambda = \lambda$. Portanto, podemos encontrar um modelo de cardinalidade$\lambda$ por baixo lowenheim skolem, uma vez que aplicamos compactação.
Respostas
$P$ é irrelevante na declaração, então vamos esquecer isso.
O que você escreveu está quase certo. E se$\varphi(x)$ é uma fórmula não algébrica com uma variável livre, então é consistente adicionar $\lambda$- muitos novos símbolos constantes e dizem que todos eles satisfazem $\varphi(x)$. Mas não é necessariamente consistente adicionar$\lambda$- muitos novos símbolos constantes e dizem que todos eles não satisfazem$\varphi(x)$, a menos que $\lnot \varphi(x)$também não é algébrico! Portanto, é melhor apenas lidar com$\varphi$ e $\lnot \varphi$ separadamente.
Agora, os detalhes da construção dependem se "conjunto definível" significa definível com parâmetros ou não. Vamos supor que queremos lidar com conjuntos definíveis com parâmetros, já que isso é um pouco mais complicado.
Comece com um modelo $M_0\models T$ de cardinalidade $\lambda$(que existe por Löwenheim-Skolem). Deixei$T_M$ seja o diagrama elementar de $M$ (a teoria completa de $M$ na linguagem $L_M$ com um símbolo constante para cada elemento de $M$ - observe que este idioma tem cardinalidade $\lambda$)
Faça uma lista de todas as fórmulas não algébricas em uma variável com parâmetros de $M$. tem$\lambda$-muitos desses. Para cada um, diga$\varphi(x,\overline{a})$, introduzir $\lambda$- muitos novos símbolos constantes e adicionar a $T_M$ o axioma $\varphi(c,\overline{a})$ para cada nova constante $c$, bem como os axiomas $c\neq d$ para cada par de novas constantes $c$ e $d$. O idioma resultante ainda tem cardinalidade$\lambda$, então por Löwenheim-Skolem, a teoria resultante tem um modelo $M_1$ de cardinalidade $\lambda$e $M_0\preceq M_1$ Desde a $M_1\models T_M$.
Agora $M_1$ é um modelo de $T$ de cardinalidade $\lambda$ de modo que cada conjunto definível com parâmetros de $M_0$ é finito ou tem cardinalidade $\lambda$. Mas e os conjuntos definíveis com parâmetros de$M_1$ que não estão em $M_0$? Para lidar com isso, repetimos a construção acima, construindo uma cadeia elementar$M_0\preceq M_1\preceq M_2\preceq \dots$. A união desta cadeia é um modelo de cardinalidade$\lambda$ de modo que todo conjunto definível com parâmetros seja finito ou tenha cardinalidade $\lambda$. Por quê? Todos os parâmetros finitos aparecem em alguns$M_n$, então o conjunto definível já tem tamanho $\lambda$ dentro $M_{n+1}$, e só pode crescer quando assumimos o sindicato.
Se você só se preocupa com conjuntos definíveis sem parâmetros, então não há necessidade da cadeia elementar: você já terminou após a primeira etapa.