Módulo Hilbert finalizado $C_0(\Lambda)$como espaço de seções contínuas do fibrado de Hilbert

Question

Deixar$\Lambda$ser múltiplo e$p:H\to\Lambda$um fibrado contínuo de Hilbert com$H(\lambda):=p^{-1}(\lambda)$. Suponha$\Gamma_0^0(\Lambda)$é o espaço de seções contínuas que se anulam no infinito de$H$. eu provei isso$\Gamma_0^0(\Lambda)$tem a estrutura de um$C_0(\Lambda)$módulo (com$C_0$sendo o espaço de funções contínuas que se anulam no infinito). Definir$H_{\lambda}=\Gamma_0^0(\Lambda)/\overline{K_{\lambda}}$Onde$$K_{\lambda}=\text{span}\{f\varphi:\varphi\in \Gamma_0^0(\Lambda)\text{ and } f(\lambda)=0\}$$Estou interessado em mostrar isso$H_{\lambda}$é isomórfico a$H(\lambda)$. Alguém sabe alguma maneira de provar isso ou alguma referência com uma prova semelhante? Eu encontrei problemas porque$\overline{K_\lambda}$não é necessariamente o núcleo do mapa de avaliação de$\Gamma_0^0$para$\mathbb{C}$. Existem várias referências apontando para propriedades semelhantes a esta, de fato em Quantização Matemática de Nik Weaver há um resultado semelhante em relação a$C(\Lambda)$módulos no caso$\Lambda$é uma variedade compacta, mas não há prova. Já verifiquei as referências fornecidas pela Weaver e não encontrei nenhuma prova.

Answer 1

A referência que citei em meu livro é Fell and Doran, Representations of${}^*$-Álgebras, Grupos Localmente Compactos e Banach${}^*$-Pacotes Algébricos , vol. 1 (1988). Você verificou lá? Não tenho uma cópia à mão, mas lembro-me de que este tratamento era muito completo.

Se isso não funcionar, você pode dar uma olhada no meu artigo com Chris Phillips, Módulos com normas que aceitam valores em um C${}^*$-álgebra . O Teorema 8 dá um resultado mais geral sobre módulos Banach/pacotes Banach. As provas completas também não são fornecidas aqui, mas há referências específicas à dissertação de Takahashi, Fields of Hilbert Modules (Tulane, 1971) que deve preencher todas as lacunas.