Mostrar uma função é uniformemente contínuo

Question

Mostre que se $f:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ é contínuo e $\lim \limits_{x \to \infty} f(x) < \infty$, então $f$ é uniformemente contínuo em $[a, \infty)$.

Minha tentativa:

Deixei $c \in A=[a, \infty)$. Desde a$f$ é contínuo em $A$, Isso significa $f$ é contínuo para todos $c \in A$.

Desde a $f$ é contínuo em $c\in A$, Isso significa $\forall \varepsilon > 0 \,\exists \delta > 0$ de tal modo que $\forall x$ E se $|x-c| < \delta$ então $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$.

Deixei $\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = L < \infty$, Isso significa $\forall \varepsilon > 0 \,\exists \delta > 0$ de tal modo que $\forall x$ E se $0< |x-c| < \delta$ então $|f(x)-L|<\varepsilon$.

Então, eu não sei o que devo fazer a seguir para mostrar $f$ é uniformemente contínuo em $[a, \infty)$. Por favor ajude, obrigado!

Answer 1

Deixei $\epsilon>0$. Preciso encontrar$\delta>0$ tal que para todos $x,y\in [a,\infty)$, E se $|x-y|<\delta$ então $|f(x)-f(y)|<\epsilon$. Dizer$\lim_{x\to\infty} f(x)=L$. Então há alguns$x_0\in [a,\infty)$ tal que para todos $x>x_0$ temos $|f(x)-L|<\epsilon/2$. Agora assuma$x,y\in (x_0,\infty)$. Então nós temos$|f(x)-f(y)|=|f(x)-L+L-f(y)|\le |f(x)-L|+|f(y)-L|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon$. Termine a prova mostrando$f$ é uniformemente contínuo em $[a,x_0]$.

Dicas:

$[a,x_0]$ é um conjunto compacto.

Fazer $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ quando $x,y>x_0$ não precisamos de um específico $\delta$.