Mostre que dadas duas normas são equivalentes

Question

eu provei que$\sigma$é um produto escalonador em$H$. Então a questão (a) está feita.

Nós temos$N_\sigma^2(f)=\lVert f\rVert^2=\sigma(f,f)=f(1)^2+\int_0^1 \frac{e^x(f'(x))^2}{1+x^2}\,dx$.

Não consigo estimar as desigualdades. Por favor ajude.

Answer 1

Bem, você tem

$$\begin{aligned}N_\sigma^2 (f) &= f^2(1)+\int_0^1 \frac{e^x \left(f^\prime(x)\right)^2}{1+x^2} \ dx\\ &\le f^2(1) + e \int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx\\ &\le e\left(\Vert f \Vert_\infty^2+ \int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx\right) \end{aligned}$$

e, portanto,$N_\sigma(f) \le \sqrt e N^\prime(f)$.

Agora usando a desigualdade

$$\vert f(x) \vert \le \vert f(1) \vert + \left(\int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx\right)^{1/2}$$fornecido na dica da pergunta que você recebe

$$\Vert f \Vert_\infty \le \vert f(1) \vert + \left(\int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx\right)^{1/2} $$e$$\Vert f \Vert_\infty^2 \le 2 \left(\vert f(1) \vert^2 + \int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx\right) $$como$2 ab \le a^2+b^2$para qualquer$a,b \in \mathbb R$.

Adicionando$\int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx$em ambos os lados desta última desigualdade, obtém-se

$$\begin{aligned}\Vert f \Vert_\infty^2 +\int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx &\le 2 \vert f(1) \vert^2 + 3\int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx\\ &\le 6 \left( \vert f(1) \vert^2 + \int_0^1 \frac{e^x \left(f^\prime(x)\right)^2}{1+x^2} \ dx\right) \end{aligned}$$como$\frac{1}{2} \le \frac{e^x}{1+x^2}$por$x \in [0,1]$.

Finalmente$$(1/ \sqrt 6) N^\prime(f) \le N_\sigma(f).$$