Mostre que uma função complexa é igual a zero. [duplicado]

Question

Mostre que se $f:\{z : |z| < 1\} \to \mathbb{C}$ é analítico, limitado e para alguns $0<a<b<2 \pi$ $$\lim_{r \to 1^-} \sup_{a \leq \theta \leq b} |f(re^{i\theta})| = 0 , $$ então $f=0.$

Tentei usar o teorema do módulo máximo do teorema de Liouville, mas não sabemos se $f$ é analítico no círculo unitário.

Answer 1

Dicas gerais: existem $c_n, 1\leq n \leq N$ tal que se $g(z)= f(z)f(ze^{ic_1})f(ze^{ic_2})....f(ze^{ic_N})$ então $g(re^{i\theta}) \to 0$ para cada $\theta$. Agora aplique o MMP ao círculo do raio$1-\epsilon$ e deixar $\epsilon \to 0$.