Movimento 3D do elétron no poço quântico 1d

Question

Poços quânticos onde o potencial varia ao longo de apenas uma direção são normalmente resolvidos assumindo que os elétrons só podem se mover ao longo da direção. O que acontece quando o 'poço' é na verdade uma placa infinita e o elétron está livre para se mover em qualquer direção? A função de onda pode ser dividida como X (x) Y (y) Z (z). Se o potencial do poço for definido ao longo de x, então eu estaria correto em assumir o seguinte:

1. Y e Z são funções de onda de partículas livres arbitrárias.
2. Visto que os modos próprios das partículas livres não são normalizáveis, é impossível ter um estado de energia definido para a função de onda total.
3. A energia calculada em qualquer experimento sempre será maior do que a contribuição de energia do estado fundamental de X (x).
4. Se traçarmos o vetor de onda $k = \sqrt{k_y^2 + k_z^2}$ contra $E_{total}$ veríamos um diagrama de estrutura de banda típico com modos bem separados e um continuum de estados no caso de um poço finito.

Esse tipo de dispositivo é usado em física? Qualquer ideia seria apreciada, obrigado.

Answer 1

O ansatz para a função de onda é $$\psi\sim e^{ik_{\|}x_{\|}}f(z),$$ Onde $k_{\|}=(k_x,k_y)$. A energia pode ser escrita como$$E=\frac{\hbar^2k_{\|}^2}{2m}+\frac{k_{z,n}^2}{2m}.$$Parece que a energia é bastante definida, mas os valores de energia não são discretos. É semelhante à partícula no campo magnético (o problema dos níveis de Landau). Se tramarmos$E=E(k_{\|})$ para diferentes valores de $n$ (assumindo $k_{z,n}\sim n^2$), vemos a estrutura da banda,

A seguinte lei de dispersão aparece em diferentes sistemas. Resumidamente, você pode verificar os documentos relacionados a:

1. Diferentes efeitos em heterojunções, onde uma das camadas tem espessura finita
2. Efeitos no campo magnético externo (os níveis de Landau reproduzem a lei de dispersão mencionada)

As heterojunções são amplamente utilizadas em muitos dispositivos, então presumo que será relativamente fácil encontrar algo.